Binary-Search

输入：一个已经排好序的待搜索数组array_to_search，需要查找的数number，查找边界left、right。

输出：number在array_to_search中的位置，若未找到，输出-1。

实现思路

将数组的中间元素array_to_search[middle]与待查找数number进行比较，如果相等，则成功找到，结束；
若array_to_search[middle] > number，则number只可能出现在array_to_search的前半段，放弃对后半段的查找，查找规模减半，回到步骤1；
若array_to_search[middle] < number，则number只可能出现在array_to_search的后半段，放弃对前半段的查找，查找规模减半，回到步骤1；
若查找规模 = 1时仍然没有查找到number，则待查找数组中没有number，结束。

两个例子

查找成功

输入：array_to_search = [1,7,12,16,24,28,34,39]，number = 34， left = 0， right = 7

middle = (0 + 7) // 2 = 3，array_to_search[middle ] = 16，小于number，array_to_search变成如下状态：
[1,24,39]
middle = (4 + 7) // 2 = 5，array_to_search[middle ] = 28，小于number，array_to_search变成如下状态：
[1,34,39]
middle = (6 + 7) // 2 = 6， array_to_search[middle ] = 34，等于number，算法结束

查找失败

输入：array_to_search = [1,39]，number = 3， left = 0， right = 7

middle = (0 + 7) // 2 = 3，array_to_search[middle ] = 16，大于number，array_to_search变成如下状态：
[ 1,12,39]
middle = (0 + 2) // 2 = 1，array_to_search[middle ] = 7，大于number，array_to_search变成如下状态：
[ 1,39]
middle = (0 + 0) // 2 = 0，array_to_search[middle ] = 1，小于number，由于问题规模已经为1，算法结束，查找失败。

流程图

二分查找完整算法（Python实现）

from random import uniform

def binary_search(array_to_search,number,left,right):
    index = -1
    while(left <= right):
        middle = (left + right) // 2
        if array_to_search[middle] == number:
            index = middle
            break
        elif array_to_search[middle] > number:
            right = middle - 1
        else:
            left = middle + 1
    return index

if __name__ == '__main__':
    array_size = int(input("Please input the length of array:"))
    array_to_search = [int(uniform(0,5)) + 5 * i for i in range (0,array_size)]
    print("Init array:",array_to_search)
    number = int(input("Please input the number you want to search:"))
    
    # start search
    print("\n\n")
    print("######################")
    print("## Start searching! ##")
    print("######################")
    print("")
    
    print("Binary Search:",binary_search(array_to_search,len(array_to_search)))

时间复杂度

对于一个长度为n的数组，每次与中间元素进行比较后规模都将缩小为原来的\(\frac{1}{2}\)，因此经过\(\log_2n\)次比较后，规模将会缩小为1，因此二分查找的时间复杂度为\(O(\log_2n)\)。

OJ(LeetCode 852.山脉数组的峰值索引)

我们把符合下列属性的数组A称作山脉：

A.length >=3
存在0 < i < A.length - 1使得A[0] < A[1] < ... < A[i - 1] < A[i] > A[i + 1] > ... > A[A.length - 1]

给定一个确定为山脉的数组，返回任何满足任何满足A[0] < A[1] < ... < A[i - 1] < A[i] > A[i + 1] > ... > A[A.length - 1]的i的值。

按照算法的标准可以描述成如下形式：

输入：一个符合A[0] < A[1] < ... < A[i - 1] < A[i] > A[i + 1] > ... > A[A.length - 1]的数组A。

输出：i。

一种朴素的想法是遍历数组，当某一个i使得A[i - 1] < A[i]并且A[i] > A[i + 1]，则i即为所求。显然这种方法的时间复杂度为\(O(n)\)。

我们可以采用二分查找的思想，每次取查找范围最中间的数A[mid]，观察A[mid - 1]、A[mid]、A[mid + 1]三者的关系，如果A[mid - 1] < A[mid] && A[mid] > A[mid + 1]，则mid为山峰的索引；若A[mid - 1] < A[mid] && A[mid] < A[mid + 1]，证明还在上坡过程，mid在山峰的左边，查找范围缩小到[mid + 1,right]；否则则为下坡过程，mid在山峰的右边，查找范围缩小到[left,mid - 1]。这种方法的时间复杂度为\(O(log_2n)\)。

山脉数组的峰值索引完整算法(C++实现)

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector<int>& A) {
        int length = A.size();
        int left = 0,rigth = length - 1;
        int mid = 0,current = 0;

        while(left <= rigth)
        {
            mid = (left + rigth) / 2;
            if(A[mid - 1] < A[mid] && A[mid] > A[mid + 1])
            {
                break;
            }
            else if(A[mid - 1] < A[mid] && A[mid] < A[mid + 1])
            {
                left = mid + 1;
            }
            else
            {
                rigth = mid - 1;
            }
        }
        return mid;
    }
};