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title: 「kuangbin带你飞」专题十四 数论基础
author: "luowentaoaa"
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mathjax: true
- kuangbin
- 数论
A - Bi-shoe and Phi-shoe(欧拉函数的性质)
题意
给出一些数字，对于每个数字找到一个欧拉函数值大于等于这个数的数，求找到的所有数的最小和。
思路
考察了欧拉函数的简单性质，即满足欧拉函数(k)>=N的最小数为N+1之后的第一个素数
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=2e6+1000;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
bool check[maxn];
int phi[maxn];
int prime[maxn];
int tot;
vector<int>ppp;
void phi_table(int n){
phi[1]=1;
tot=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!check[i]){prime[tot++]=i;phi[i]=i-1;ppp.push_back(i);}
for(int j=0;j<tot;j++){
if(i*prime[j]>n)break;
check[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0){
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
std::cout.tie(0);
phi_table(2000000);
int t;
int cnt=1;
cin>>t;
while(t--){
int n;cin>>n;
vector<int>ve;
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i++){
int a;
cin>>a;
ans+=ppp[lower_bound(ppp.begin(),ppp.end(),a+1)-ppp.begin()];
}
cout<<"Case "<<cnt++<<": "<<ans<<" Xukha"<<endl;
}
return 0;
}
C - Aladdin and the Flying Carpet（唯一分解定理）
题意
给一对数字 a，b ，a是一个长方形的面积，问有多少种整数的边的组合可以组成面积为a的长方形，要求最短的边不得小于b
思路
唯一分解定理
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e6+1000;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
bool check[maxn];
int phi[maxn];
int prime[maxn];
int tot;
void phi_table(int n){
phi[1]=1;
tot=0;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!check[i]){prime[tot++]=i;phi[i]=i-1;}
for(int j=0;j<tot;j++){
if(i*prime[j]>n)break;
check[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0){
phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
break;
}
else
phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
ll getnum(ll n){
ll ans=1,num=0;
for(int i=0;i<tot&&prime[i]*prime[i]<=n;i++){
if(n%prime[i]==0){
num=0;
while(n%prime[i]==0){
n/=prime[i];
num++;
}
ans*=(num+1);
}
}
if(n>1)ans*=2;
return ans;
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
std::cout.tie(0);
int t;
int cnt=1;
cin>>t;
phi_table(1000000+50);
while(t--){
ll a,b;
cin>>a>>b;
if(a<=b*b){
cout<<"Case "<<cnt++<<": ";
cout<<0<<endl;
continue;
}
ll ans=getnum(a)/2;
for(ll i=1;i<b;i++){
if(a%i==0)ans--;
}
cout<<"Case "<<cnt++<<": ";
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
D - Sigma Function （平方数和平方数×2的约数和是奇数 ）
题意
求1-n中的因子和为偶数的个数是多少
思路
平方数和平方数*2的约数和是奇数
而且-----平方数*2的个数就等于sqrt（n/2）
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e6+1000;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
std::cout.tie(0);
int t;
int cnt=1;
cin>>t;
while(t--){
ll ans;
cin>>ans;
ans-=floor(sqrt(ans))+floor(sqrt(ans/2));
cout<<"Case "<<cnt++<<": ";
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
E - Leading and Trailing(求 n^k 前3项和后3项)
思路
后三项不需要想就知道是快速幂了
但是前三项需要推一下
我们知道任意数可以转化成 X = 10^( x + y ) (x为整数，y为小数)
其中 10^x 来控制的是源数字 10 100.。。这样的东西，而具体这个数字等于多少，全靠10^y ，
那么 我们就可知道 10^y 就是我们要求的前n个数字还不会炸 long long (用double的话末尾消去，很适合)
这样我们就能保证前7位可知， 如果要前三位 只需要 10^(y) * 100 就好了。
由于这道题数据卡的不是太死。。限时 2s ，那么不用快速幂去搞前三位。。似乎没事。
fmod 是一个特殊函数 fmod(a,b) (a,b 为 浮点型) 得出的结果是 a / b 得出的结果的小数。。
距离 fmod( 4,3 ) 结果为 0.3333333 ，那么我们这样 fmod( x,1 ) 就是默认取他的小数点位
那么 对于 X^k = 10^x * 10^y
x + y = k * lg X,那么 y = fmod( k*lg X,1.0 )
然后再*100就是前三位了。。。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e6+1000;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int pow_mod(int x,int n,int mod){
int res=1;
while(n){
if(n&1)res=res*x%mod;
x=x*x%mod;
n>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
/*std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
std::cout.tie(0);*/
int t;
int cnt=1;
cin>>t;
while(t--){
int n,k;
cin>>n>>k;
int ans1=pow(10.0,fmod(k*log10(n*1.0),1))*100;
int ans2=pow_mod(n%1000,k,1000);
printf("Case %d: %03d %03d\n",cnt++,ans1,ans2);
}
return 0;
}
F - Goldbach`s Conjecture (线性筛)
题意
T组询问，每组询问是一个偶数n
验证哥德巴赫猜想
回答n=a+b
且a，b(a<=b)是质数的方案个数
思路
注意不要被卡内存就行
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e7+10;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
bool check[maxn];
int prime[700000];
int tot;
void getprime(){
tot=0;
for(int i=2;i<maxn;i++){
if(!check[i]){
prime[tot++]=i;
}
for(int j=0;j<tot;j++){
if(i*prime[j]>=maxn)break;
check[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
std::cout.tie(0);
int t;
int cnt=1;
cin>>t;
getprime();
while(t--){
int n;
cin>>n;
int ans=0;
for(int i=0;i<tot&&prime[i]*2<=n;i++){
if(!check[n-prime[i]])ans++;
}
cout<<"Case "<<cnt++<<": ";
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
G - Harmonic Number (II)（整除分块）
题意
求f(n)=n/1+n/2.....n/n,其中n/i保留整数;
思路
直接套莫比乌斯反演的整除分块
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e7+10;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
std::cout.tie(0);
int t;
int cnt=1;
cin>>t;
while(t--){
ll n;
cin>>n;
ll ans=0;
for(ll l=1,r;l<=n;l=r+1){
r=n/(n/l);
ans+=(r-l+1)*(n/l);
}
cout<<"Case "<<cnt++<<": ";
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
H - Pairs Forming LCM (唯一分解定理)
题意
求有多少组 （ i，j ）
使 lcm(i,j) = n and (i ≤ j).
(1 ≤ n ≤ 10^14)
思路
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e7+10;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
bool check[maxn];
int prime[1000000];
int tot;
void getprime(){
tot=0;
for(int i=2;i<maxn;i++){
if(!check[i]){
prime[tot++]=i;
}
for(int j=0;j<tot;j++){
if(i*prime[j]>=maxn)break;
check[i*prime[j]]=true;
if(i%prime[j]==0)break;
}
}
}
ll getnum(ll n){
ll ans,sum;
ans=0;
sum=1;
for(int i=0;i<tot&&prime[i]*prime[i]<=n;i++){
if(n%prime[i]==0){
ans=0;
while(n%prime[i]==0){
n/=prime[i];
ans++;
}
sum*=(2*ans+1);
}
}
if(n>1)sum*=3;
return sum;
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
std::cout.tie(0);
int t;
int cnt=1;
cin>>t;
getprime();
while(t--){
ll n;
cin>>n;
cout<<"Case "<<cnt++<<": ";
cout<<getnum(n)/2+1<<endl;
}
return 0;
}
I - Harmonic Number (欧拉常数 /稀疏打表求调和级数)
题意
t组数据，每组一个n 求 1+1/2+1/3+1/4 ......+1/n的和
思路
直接100个一组打表求前1e7项
或者直接套公式
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=998244353;
const int maxn=1e6+10;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3fLL;
double num[maxn];
void init(){
num[0]=0;
num[1]=1.0;
double ans=1.0;
for(int i=2;i<=100000000;i++){
ans+=1.0/(i*1.0);
if(i%100==0)num[i/100]=ans;
}
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
std::cin.tie(0);
std::cout.tie(0);
int t;
int cnt=1;
cin>>t;
init();
while(t--){
int n;
cin>>n;
int k=n/100;
double ans=num[k];
for(int i=k*100+1;i<=n;i++)ans+=1.0/(i*1.0);
cout<<"Case "<<cnt++<<": ";
cout<<fixed<<setprecision(10);
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
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