Lucas卢卡斯定理

Lucas定理，是用来快速求解一个组合数对于一个数（保证这一个数是质数）的模。
那么，我们先来看Lucas定理的求解式：
$\binom{n}{m}\%p$（$p$是质数）
这样的一个式子，在$n,m\leq 10^9$的时候很容易炸掉，那么我们就要对它利用$p$进行化简求值。
那么，我们可以将$n,m$用另一种形式处理（可以考虑成将$n,m$用$p$进制表示）
$n=n_k\cdot p^k + n_{k-1}\cdot p^{k-1} + \cdots + n_1\cdot p + n_0$
$m=m_k\cdot p^k + m_{k-1}\cdot p^{k-1} + \cdots + m_1\cdot p + m_0$
那么，$\binom{n}{m}\equiv\binom{n_k}{m_k}\binom{n_{k-1}}{m_{k-1}}\cdots\binom{n_0}{m_0}\ (mod\ p)$
是不是看起来很累啊，我们换一种方法$\binom{n}{m}\equiv\prod_{i=0}^{k}\binom{n_i}{m_i} \ (mod\ p)$
（p是质数就不写了哈，反正所有的p都是质数）
我们接下来证明：（不喜欢看这一段的同学直接看代码啦）
令$n=a\cdot p+b,m=c\cdot p+d$
$\therefore a=\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor,b=\left \lfloor \frac{m}{p} \right \rfloor$
引理1：$(1+x)^p \equiv 1+x^p \pmod{p} $
证明：
$(1+x)^p \equiv 1+x \pmod{p} $
$x^p \equiv x \pmod{p}$
$1+x^p \equiv 1+x \pmod{p}$
$\therefore (1+x)^p \equiv 1+x^p \pmod{p}$
证毕
$(1+x)^n=(1+x)^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor \cdot p}\cdot (1+x)^b \equiv (1+x^p)^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\cdot (1+x)^b$
此处引入二项式定理：$(1+x)^n=\sum_{i=0}^{n}\binom{n}{i}\cdot x^i$
$\therefore (1+x^p)^{\left \lfloor \frac{n}{p} \right \rfloor}\cdot (1+x)^b=\sum_{i=0}^{a}\binom{a}{i}x^{p\cdot i}\cdot \sum_{j=0}^{b}\binom{b}{j}x^j$
$(1+x)^n=\sum_{m=0}^{n}\binom{n}{m}x^m$
$\sum_{i=0}^{a}\binom{a}{i}x^{p\cdot i}\cdot \sum_{j=0}^{b}\binom{b}{j}x^j=\sum_{pi+j \leq m且j<p}\binom{a}{i}\binom{b}{j}x^{pi+j}$
$\because pi+j=m$
$\therefore \binom{a}{i}\binom{b}{j}=\binom{n}{m}$
接下来迭代证明即可。

那么代码实现也十分简单。
【模板】卢卡斯定理
板子题，直接上板子：

#include <cstdio>
#define Maxn 100000
int n,m,p;
int inv[Maxn+5];
int a[Maxn+5];
int ksm(int x,int y){
    int ans=1;
    while(y){
        if(y&1){
            ans=(int)((long long)ans*x%p);
        }
        y>>=1;
        x=(int)((long long)x*x%p);
    }
    return ans;
}//求逆元
int C(int x,int y){
    if(y>x){
        return 0;
    }
    return (int)(1ll*a[x]%P*ksm(a[y],p-2)%P*ksm(a[x-y],p-2)%p);
}//求组合数
int lucas(int x,int y){
    if(y==0){
        return 1;
    }
    return (int)(lucas(x/p,y/p)*1ll*C(x%p,y%p)%p);
}//lucas，用递归实现极为简单
int main(){
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&p);
        a[0]=1;
        for(int i=1;i<=p;i++){
            a[i]=(int)(a[i-1]*1ll*i%p);
        }//预处理
        printf("%d\n",lucas(n+m,n));
    }
    return 0;
}

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