【interview】卡特兰数

涉及卡特兰数的题目列举，也是组合数学中一些例子：

详解链接 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%A1%94%E5%85%B0%E6%95%B0

1. n个节点的二叉树有多少种形态？

　　C_n表示有2n+1个节点组成不同构满二叉树（full binary tree）的方案数。

　　下图中，n等于3，圆形表示内部节点，月牙形表示外部节点。本质同上。

2. 矩阵链乘： P=a1×a2×a3×…×an，依据乘法结合律，不改变其顺序，只用括号表示成对的乘积，有几种括号化的方案？

C_n表示所有包含n组括号的合法运算式的个数：((())) ()(()) ()()() (())() (()())

3. 一个栈(无穷大)的进栈序列为1,2,3,..n,有多少个不同的出栈序列?
4. 有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零？(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈)
5. 将一个凸多边形区域分成三角形区域的方法数?

C_n表示通过连结顶点而将n + 2边的凸多边形分成三角形的方法个数。下图中为n = 4的情况：

6. 在圆上选择2n个点,将这些点成对连接起来，使得所得到的n条线段不相交的方法数。
7. 一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越（但可以碰到）从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路？

C_n表示所有在n × n格点中不越过对角线的单调路径的个数。一个单调路径从格点左下角出发，在格点右上角结束，每一步均为向上或向右。计算这种路径的个数等价于计算Dyck word的个数：X代表“向右”，Y代表“向上”。下图为n = 4的情况：

8. C_n表示长度2n的dyck word的个数。Dyck word是一个有n个X和n个Y组成的字串，且所有的前缀字串皆满足X的个数大于等于Y的个数。以下为长度为6的dyck word： XXXYYY XYXXYY XYXYXY XXYYXY XXYXYY

　　证明：

　　令1表示进栈，0表示出栈，则可转化为求一个2n位、含n个1、n个0的二进制数，满足从左往右扫描到任意一位时，经过的0数不多于1数。显然含n个1、n个0的2n位二进制数共有

${2n \choose n}$

个，下面考虑不满足要求的数目。

　　考虑一个含n个1、n个0的2n位二进制数，扫描到第2m+1位上时有m+1个0和m个1（容易证明一定存在这样的情况），则后面的0-1排列中必有n-m个1和n-m-1个0。将2m+2及其以后的部分0变成1、1变成0，则对应一个n+1个0和n-1个1的二进制数。反之亦然（相似的思路证明两者一一对应）。

从而

$C_n = {2n \choose n} - {2n \choose n + 1} = \frac{1}{n+1}{2n \choose n}$

。证毕。

C_n表示用n个长方形填充一个高度为n的阶梯状图形的方法个数。下图为n = 4的情况：

什么是卡特兰数？

f(n)=f(n-1)f(0)+f(n-2)f(1)+……….+f(1)f(n-2)+f(0)f(n-1)
该数列称为卡特兰数（Catalan数），该递推关系的解为：

参考博文：

https://blog.csdn.net/adminabcd/article/details/46672759

【interview】卡特兰数

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