毫无疑问，二进制奠定了计算机操作的基础。我们关注在计算机当中（整数，带符号数，浮点数）他们是如何存储和表示的。很显然，它们是有很大区别的，运算规则也并不相同。
2.1信息存储
计算机用二进制存储，最小单位是位（bit），但是最有用的还是由八位组成的字节（byte），它是最小的可寻址存储单元，虚拟存储器的每个字节都是由唯一的数字标识，叫做地址。
这一小节主要说明一个对象（或者叫做数据）是如何在存储器存储的，顺便介绍一些和布尔代数有关的概念。
十六进制表示法----字----数据大小----寻址和字节顺序----表示字符串----表示代码----布尔代数----位级运算----逻辑运算-----移位运算
为了我们自己方便，我们用十六进制来表示信息。2进制、十进制、十六进制之间的转化。
字是由多个位组成的，它是默认整整还有指针的存储单元（最大了），所以字有多大，决定了可以寻址的范围有多大，也就决定了我们可以用多大内存。32位的电脑，可以使用的内存为4G，是因为2^32 = 4 * 2^30 = 4G.
数据大小是有编译器和操作系统决定的。也就是说规定每种类型的变量默认是多大的空间。c语言中int a = 10. 那么给a分配4位， double a = 10.0,那么给a分配8位。
当存储占有多个位的数据对象的时候，如何给这个对象安排地址，如何在存储器排列引出了这个问题。寻址是说要访问这个对象，要访问哪个地址，。比如int a = 10.那么a占有了4位，每一位都有地址，比如0x100,0x101,0x102,0x103，可以访问大地址来找到a，也可以访问小地址0x101找到a,默认都是从小地址开始。而安排字节顺序就涉及到大端和小端，这是要解决数据对象的高低位和存储器的高低位之间的关系。将数据对象的地位放到存储器的低位，为小端。将数据对象的低位放到存储器对象的高位，为大端。
字符串，相对来说，没有那么复杂了，由一个位存储一个字符，总是从低位到高位存储。
布尔代数对应的是一种运算关系，有 &(与)，|(或)，~，^(异或)
位级运算是布尔代数的典型应用，运算的时候每一位都按照布尔代数的进行运算。实际当中掩码用的比较多。
逻辑运算，和位级运算不同，他们的结果是ture0x01和false 0x00 && || ! 三种
移位运算，现将一个数转化为二进制，然后按照一定规则运算。
2.2 整数表示
在这一小节，我们研究整数这种数据结构在计算机当中是如何表示的。分为两种，无符号型和有符号型。然后研究他们之间是如何进行转换的。同时，当扩充一个数或者截断一个数是如何工作的。其中，在位模式上面基本不太发生变化，但是在计算的数值上面有很大的差别。
1整数数据类型----2无符号数的编码----3补码编码----4有符号数和无符号之间的转换----5C语言中的有符号数和无符号数----6扩展一个数字的位表示----7截断数字
1：在c语言当中，有这么几种类型都是表示整数，char， short， int ，long,long long，然后还有他们的unsigned类型，所以一种有10中，在不同的编译器和操作系统中位数可能存在一点差异。
2：我们要区分一下位模式和它的值，位模式是存储在内存的一个个位，而值是我们直观的现实，打印的值。无符号的w位模式为$[x_{w-1},....,x_1,x_0]$ 它的值计算方法B2U = $\sum \limits_{i=0} ^{w-1} x_i 2^i$
3：关于带有符号的数字，我们通常用补码来进行编码。它的值计算方法B2T = $-x_{w-1}2^{w-1} + \sum \limits_{i=0} ^{w-2} x_i 2^i$。 假如想要将一个数转化为补码，那么可用使用原码 –>反码 –>补码的形式进行转换。
4：有符号数和无符号数在进行转换的时候，位模式是不发生变化的，这一点很重要，只是显示的值发生了变化，对于位模式的解释发生了变化。 B2U- B2T = $x_{w-1}2^w$,所以利用这个公式可以进行两者之间的转换。
T2U(x) = $x + x_{w-1}2^w$,对每种情况进行分析 $T2U = \left\{ \begin{aligned} x & & x \geq 0 \\ x+2^w & &x <0 \end{aligned} \right.$
相反对于另外一种情况U2T = $u - u_{w-1}2^w$ $T2U = \left\{ \begin{aligned} u & & u<2^{w-1}\\ 2^w-u & &u \geq 2^{w-1} \end{aligned} \right.$
5：c语言中，有符号数和无符号数之间运算，会先转换为无符号数，然后进行计算，这一点会导致很多bug，比如0u（表示无符号0） 0u-1 ，我们期望是-1，但是结果为2^32 –1。 会先把-1转化为usigned 为2^32然后相加。
6：无符号扩展是前面直接加0，表示0扩展，而有符号扩展则表示前面的位补上符号位的数，即正数全部写0，负数全部写1。虽然位模式上面发生了变化，但是它们的值是相同的，这点在数学上能够证明。尤其是负数，只要后面相同，前面几个1都是相同的。
7：截断一个数字，在位模式上面表现为直接截断。在计算数值方面，w位，截断为k位，$B2U_k = B2U_w(x) mod 2^k$，即直接模$2^k$计算就可以了。 对于有符号的数字，截断$B2T_k = U2T_k( B2U_w(x) mod 2^k )$,即先把x转化为无符号，然后模$2^k$，最后转化为有符号。
2.3 整数运算
整数运算在整数表示的基础上进行，进行加减，乘除，乘以常数运算，运算过程涉及到很多的溢出，理解他们是如何工作的。当然，关于整数的运算也涉及到位上是如何运算的，以及转化为我们理解的十进制是如何计算的。下面以运算表示在二进制上面进行的工作，而已计算代表我们在十进制上面自己算的工作。
1：无符号加法 –> 2：补码加法–> 3：补码的非-> 4：无符号乘法 –> 5：补码乘法 –> 6：乘以常数–>7：除以2的幂 ->8：关于整数运算最后的思考
1：从二进制的角度来看，相加以后的数字直接截断就可以了。 在运算的角度，就两个数相加，然后模$2^w$,w为二进制多少位。加法会产生溢出，溢出是指，完整的整数结果不能存放到数据类型的字长限制中。
2：补码加法在二进制角度运算，也无符号数加法一样，直接模就行了，符号位也参与这样的计算。所以，两个数很大的时候会产生负溢出，两个数很小的时候会产生正溢出。在十进制上面的计算是这样的：直接相加，模上$2^w$，因为模的关系，转化为无符号的数字，然后将无符号的数字转化为有符号的数字就可以了。
3：补码的非是：定义一个数，这个数和原来的数相加为0。所以，在十进制上运算就是直接取负数，除了$-2^{w-1}$,它的补码的非为本身。在二进制上面运算是这样的：全部位数取补码，然后加1,这样在二进制上面相加全部为0.
4：无符号乘法和它的加法一样简单，十进制上表现为$（x*y)mod 2^w$,二进制书上没有介绍，可能是通过移位加法来实现的。
5：补码乘法，在二进制上面表现的和无符号一样，直接相乘，然后截断就可以了。而在十进制上面，先进行$（x*y)mod 2^w$,得到正数，然后U2T的操作。
6：乘以常数，是以二进制左移的形式来实现的。在书中给出证明，左移k位和乘以$2^k$的效果是一样的。
7：整数的除法所遵循的原则是这样的：向0舍入。比如5/2 = 2.5 向0舍入以后为2。-5/2的结果为-2.5 向0舍入的结果为-2。
对于无符号数字，除以2的k次幂和右移k次是完全一样的。在位级表现为向右进行k次逻辑右移，右移的结果和向下截断的结果是一样的。对于补码来说，当x为正的情况和无符号数字相同，但是当x为负的情况，右移表示的结果也是向下截断，要比向向0舍入要小1。所以，补码负数采用的原则是 (x+y-1)/y 即右移前，先加上$2^k -1$ x < 0 ? (x + (1 << k)-1) : x >> k。 除以任意的数，不能写作除以2的幂这种情况。
8：在c语言当中，溢出是经常的事情。还有无符号数字和有符号数字一起进行运算,经常导致意想不到的效果。
2.4 浮点数
浮点数和整数的表示显然是一个完全不一样的概念。它们使用的策略是不一样的，但是我们人类却对这些数字没有这么敏感。所以，可以看到浮点数是经过精心设计的。
1：二进制小数 -> 2：IEEE浮点表示 ->3：数字示例: ->4：舍入 ->5：浮点运算: ->6：c语言的浮点数
1:事实上我们也可以将一个数用二进制小数来表示。将一个数转化为二进制小数的方法是这样的：>0的部分除以2，得到二进制数字。小于0的部分乘以2得到二进制数字，然后拼接在一切就可以了。 二进制小数能够表示诸如$2*n$的数字
2：IEEE巧妙的设计了一套表示浮点数的方法，这是我们平时难以想到的。 总共有三个为S符号位 1位、M尾数 n位，E阶码 k位。最终的数字计算如下：$V = (-1)^S M \dot 2^E$。既可以表示负数，也可以表示正数。 在具体的实现过程当中，分为规格化的和非规格化的两类。 规格化阶码E=e-Bias,M = 1+f Bias为 $2^{k-1}-1$。e为阶码位计算得到的，f为二进制尾数计算得到的。 非规格化的值 E=1-Bias,M=f。 计算的时候套进去计算就可以了。
3：以数字示例。如何将整数转化为浮点数，首先是先转化为二进制数/小数，然后0后面的为M，用多少次方来计算k。
4：舍入分为4类，向偶数舍入，向零舍入，向下舍入，向上舍入。其中向零舍入以前没有见过，但是它的性质非常的好，在统计值当中均值不变。
5：浮点运算支持结合律，但是不支持交换律。当涉及到（3.14+1e10)-1e10 的时候，因为溢出，所以结果为0.可以参考
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