[CF930E]/[CF944G]Coins Exhibition
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题目大意:
一个长度为\(k(k\le10^9)\)的\(01\)串,给出\(n+m(n,m\le10^5)\)个约束条件,其中\(n\)条描述区间\([l_i,r_i]\)至少有一个\(0\),其中\(m\)条描述区间\([l_i,r_i]\)至少有一个\(1\)。求合法的\(01\)串数量。
思路:
显然直接考虑所有的\(k\)位,就算\(\mathcal O(k)\)的线性算法也会超时,因此对于所有的\(l_i-1,r_i\)以及\(0,k\)离散化以后考虑这些关键点即可。
设关键点有\(lim\)个,对所有关键点排序,\(tmp[i]\)为\(i\)离散化前对应的数。对所有关键点排序,考虑动态规划,设\(f[i][j\in\{0,1,2\}]\)表示从后往前考虑第\(i\sim lim\)个关键点。若\(j\in\{0,1\}\),则\(f[i][j]\)表示\(tmp[i]\sim tmp[i+1]\)中含有\(j\)的方案数后缀和。若\(j=2\),则\(f[i][j]\)表示最后一段同时有\(0\)和\(1\)的方案数。用\(min[j\in\{0,1\}][i]\)表示对应约束条件类型为\(j\),\(i\)右侧最近的、对应左端点不在\(i\)左侧的右端点。状态转移方程如下:
- \(f[i][0]=f[i+1][0]+f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+f[i+1][2]\times(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2)\)
- \(f[i][1]=f[i+1][1]+f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+f[i+1][2]\times(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2)\)
- \(f[i][2]=f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+f[i+1][2]\times(2^{tmp[i+1]-tmp[i]}-2)\)
最终答案为\(f[0][2]\)。
时间复杂度\(\mathcal O((n+m)(\log(n+m)+\log k))\)。其中\(\mathcal O(\log(n+m))\)为离散化复杂度,\(\mathcal O(\log k)\)为快速幂复杂度。
源代码:
#include<cstdio> #include<cctype> #include<algorithm> using int64=long long; inline int getint() { register char ch; while(!isdigit(ch=getchar())); register int x=ch^'0'; while(isdigit(ch=getchar())) x=(((x<<2)+x)<<1)+(ch^'0'); return x; } constexpr int N=1e5,mod=1e9+7; std::pair<int,int> p[2][N]; int tmp[N*4+2],min[2][N*4+2],f[N*4+2][3]; inline int power(int a,int k) { int ret=1; for(;k;k>>=1) { if(k&1) ret=(int64)ret*a%mod; a=(int64)a*a%mod; } return ret; } int main() { const int k=getint(),n=getint(),m=getint(); int lim=0; for(register int i=0;i<n;i++) { tmp[++lim]=p[0][i].first=getint()-1; tmp[++lim]=p[0][i].second=getint(); } for(register int i=0;i<m;i++) { tmp[++lim]=p[1][i].first=getint()-1; tmp[++lim]=p[1][i].second=getint(); } tmp[++lim]=k; std::sort(&tmp[0],&tmp[lim]+1); lim=std::unique(&tmp[0],&tmp[lim]+1)-&tmp[1]; for(register int i=0;i<=lim;i++) { min[0][i]=min[1][i]=lim+1; } for(register int i=0;i<n;i++) { p[0][i].first=std::lower_bound(&tmp[0],&tmp[lim]+1,p[0][i].first)-tmp; p[0][i].second=std::lower_bound(&tmp[0],p[0][i].second)-tmp; min[0][p[0][i].first]=std::min(min[0][p[0][i].first],p[0][i].second); } for(register int i=0;i<m;i++) { p[1][i].first=std::lower_bound(&tmp[0],p[1][i].first)-tmp; p[1][i].second=std::lower_bound(&tmp[0],p[1][i].second)-tmp; min[1][p[1][i].first]=std::min(min[1][p[1][i].first],p[1][i].second); } for(register int i=lim;i;i--) { min[0][i-1]=std::min(min[0][i-1],min[0][i]); min[1][i-1]=std::min(min[1][i-1],min[1][i]); } f[lim][0]=f[lim][1]=f[lim][2]=1; for(register int i=lim-1;i>=0;i--) { int g[3]; g[0]=(f[i+1][0]-f[min[0][i]][0]+mod)%mod; g[1]=(f[i+1][1]-f[min[1][i]][1]+mod)%mod; g[2]=(int64)f[i+1][2]*((power(2,tmp[i+1]-tmp[i])-2+mod)%mod)%mod; f[i][0]=((int64)f[i+1][0]+g[1]+g[2])%mod; f[i][1]=((int64)f[i+1][1]+g[0]+g[2])%mod; f[i][2]=((int64)g[0]+g[1]+g[2])%mod; } printf("%d\n",f[0][2]); return 0; }
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