大数分解模板

1.Miller-rabin 算法(基于费马小定理/Fermat 定理)

作用：通过概率的方式判断素数。有误判概率，通过多次判断可以使误判概率控制在很小范围。

理论基础：如果n是一个奇素数， 将n-1表示成2^s*r的形式(r是奇 数)，a 是和n互素的任何整数， 那么a^r≡1(mod n) 或者对某个j(0≤j ≤s -1， j∈Z) 等式 a^(2^j*r) ≡-1(mod n)成立。 这个理论是通过一个事实经由Fermat定理推导而来： n是一个奇素数，则方程x2 ≡ 1 mod n只有±1两个解。

代码实现：

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1. #define LL __int64  
2. const LL NUM=3;//判断次数，每次误判概率1/2.NUM次误判概率为2^(-num)  
3. LL check(LL a,LL n,LL x,LL t)//合数返回true  
4. {  
5.     LL ret=pow_mod(a,x,n);//a^x%n  
6.     LL last=ret;  
7.     for(LL i=1;i<=t;i++)  
8.     {  
9.         ret=mult_mod(ret,ret,0); background-color:inherit">//ret^2%n，64位乘法，需要用二进制乘法，类似快速幂。  
10.         if(ret==1 && last!=1 &&last!=n-1)return true;  
11.         last=ret;  
12.     }  
13.     if(ret!=1)return true;  
14.     return false;  
15. }  
16. bool Miller_rabin(LL n)//Miller_rabin算法,素数返回true  
17. {  
18.     if(n<2)return false;  
19.     if(n==2)return true;  
20.     if((n&1)==0)return false;  
21.     LL x=n-1;  
22.     LL t=0;  
23.     while((x&1)==0){x>>=1;t++;}  
24.     for(LL i=0;i<NUM;i++)  
25.     {  
26.         LL a=rand()%(n-1)+1;//生成1~n-1的随机数  
27.         if(check(a,n,t))  
28.             return false;  
29.     }  
30.     return true;  
31. }  

2. Pollard rhos算法：

作用：求解一个数的因子。

原理：设n为待分解的大整数，用某种方法生成a和b，计算p=gcd(a-b,n),直到p不为1或a,b出现循环时为止，若p=n，则说明n是一个素数，否则p为n的一个约数。

算法步骤：选取一个小的随机数x1，迭代生成x[i] = x[i-1]^2+c，一般取c=1，若序列出现循环则退出，计算p=gcd(x[i-1]-x[i],n)，若p=1则返回上一步继续迭代，否则跳出迭代过程。若p=n，则n为素数，否则p为n的一个约数，并递归分解p和n/p。

可以在θ（sqrt(p)）的期望时间内找到n的一个小因子p。但对于因子很少，因子值很大的大整数n，该方法依然不是很有效。

为了减少反复的次数，算法做了一些改进。该算法用数对(x0,x0)开始，并且用x(i+1)=f(xi) ，迭代计算(x1,x2),(x2,x4),(x3,x6)...(xi,x2i)。在每一次迭代中，我们都应用上述函数式运算(从第二步)第一次计算数对中的第一个元素，第二次计算数对中的第二个元素。

代码实现：

?

LL Pollard_rho(LL n,LL c)//Pollard_rho算法，找出n的因子  
1.     LL i=1,j,k=2,y,d,p;  
2.     x=rand()%n;  
3.     y=x;  
4.     while(true)  
5.         i++;  
6.         x=(mul_mod(x,n)+c)%n;  
7.         if(y==x)return n;  
8.         if(y>x)p=y-x;  
9.         else p=x-y;  
10.         d=gcd(p,n);  
11.         if(d!=1&&d!=n)return d;  
12.         if(i==k)  
13.         {  
14.             y=x;  
15.             k+=k;  
16.         }  
17. }