入门篇之二
在《大数阶乘之计算从入门到精通―入门篇之一》中,我们给出一个计算阶乘的程序,它采用char型数组存贮大数,1个元素表示1位十进制数字,在计算时,一次乘法可计算一位数字和一个整数的乘积。该算法具有简单直观的优点,但缺点也是明显的,速度不快,占用内存空间也较多,本文将给出一个改后的程序,有效的克服了这些缺点。
学过80x86汇编的人都知道,8086/8088的cpu可对两个16比特的数相乘,其结果为32比特,80386及其后的32位cpu可对两个32比特的数相乘,结果为64比特(以下写作bit)。8086 cpu等16位cpu已完全淘汰,这是不去讨论它。在32位c语言编译器中,unsigned long(DWORD)型变量可以表示一个32bit的整数,unsigned short(WORD)型变量可表示一个16bit的整数。两个65535以内的数相乘,其结果完全可以存贮在一个unsigned long变量中。另外,在好多32位编译器中,也提供了64bit的整数类型(如在VC中,unsigned __int64可表示一个64bit的整数,在GCC中,long long可表示一个64位的整数)。同理两个40亿以内的数相乘,其结果可以用一个unsigned __int64 型的变量来存储。让一个具有一次可计算两个32bit数乘法能力的cpu一次只计算1个1位10进制数和一个整数的乘法,实在是一种浪费。下面我们提出两种大数的表示法和运算方法。
第一种方法:用WORD型数组表示大数,用DWORD型变量表示两个WORD型变量的乘积。数组的每个元素表示4位十进制数。在运算时,从这个数的最后一个元素开始,依次乘以当前乘数并加上上次的进位,其和的低4位数依然存在原位置,高几位向前进位。当乘数i小于42万时,其乘积加上进位可以用一个DWORD型变量表示,故这个程序可以计算上到42万的阶乘,当计算42万的阶乘时,占用内存空间小于1.1兆字节。至于速度,在计算1000/10000的阶乘时,在迅驰1.7G电脑约需0.015/0.86秒。
#include "stdlib.h" #include "stdio.h" #include "math.h" #define PI 3.1415926535897932384626433832795 #define RAD 10000 typedef unsigned long DWORD; typedef unsigned short WORD; //用stirling公式估算结果长度,稍微算得大一点 DWORD calcResultLen(DWORD n,DWORD rad) { double r=0.5*log(2*PI) + (n+0.5)*log(n)-n; return (DWORD)(r/log(rad)+2); } void calcFac1(DWORD n) { DWORD i,carry,prod,len; WORD *buff,*pHead,*pTail,*p; if (n==0) { printf("%d!=1",n); return; } //---计算并分配所需的存储空间 len=calcResultLen(n,RAD); buff=(WORD*)malloc( sizeof(WORD)*len); if (buff==NULL) return ; //以下代码计算n! pHead=pTail=buff+len-1; for (*pTail=1,i=2;i<=n;i++) { for (carry=0,p=pTail;p>=pHead;p--) { prod=(DWORD)(*p) * i +carry; *p=(WORD)(prod % RAD); carry=prod / RAD; } while (carry>0) { pHead--; *pHead=(WORD)(carry % RAD); carry /= RAD; } } //显示计算结果 printf("%d!=%d",n,*pHead); for (p=pHead+1;p<=pTail;p++) printf("%04d",*p); printf("/n"); free(buff);//释放分配的内存 } int main(int argc,char* argv[]) { DWORD n; printf("please input n:"); scanf("%d",&n); calcFac1(n); return 0; }
第二种方法:用DWORD型数组表示大数,用unsigned __int64 表示两个DWORD型变量的乘积。数组的每个元素表示9位十进制数。在运算时,从这个数的最后一个元素开始,依次乘以当前乘数i(i=1..n)并加上上次的进位,其和的低9位数依然存在原位置,高几位向前进位。从算法上讲,这个程序能够计算到40亿的阶乘,在实际计算过程中,仅受限于内存的大小。至于速度,比前一个程序要慢一些,原因在于unsigned __int64的除法较慢。我们将在下一篇文章给出解决方法,下面是采用该方法计算阶乘的代码。
#define TEN9 1000000000 void calcFac2(DWORD n) { DWORD *buff,*p; DWORD t,i,len; UINT64 carry,prod; if (n==0) { printf("%d!=1",n); return; } //---计算并分配所需的存储空间 t=GetTickCount(); len=calcResultLen(n,TEN9); buff=(DWORD*)malloc( sizeof(DWORD)*len); if (buff==NULL) return ; //以下代码计算n! pHead=pTail=buff+len-1; for (*pTail=1,i=2;i<=n;i++) { for (carry=0,p=pTail;p>=pHead;p--) { prod=(UINT64)(*p) * (UINT64)i +carry; *p=(DWORD)(prod % TEN9); carry=prod / TEN9; } while (carry>0) { pHead--; *pHead=(DWORD)(carry % TEN9); carry /= TEN9; } } t=GetTickCount()-t; //显示计算结果 printf("It take %d ms/n",t); printf("%d!=%d",*pHead); for (p=pHead+1;p<=pTail;p++) printf("%09d",*p); printf("/n"); free(buff);//释放分配的内存 }
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