英国的海岸线有多长:统计自相似性与分数维数阅读报告)

 

一、        内容概述

Mandelbrot在其论文《英国的海岸线有多长:统计自相似性与分数维数》中首次创造性地阐述了分形理论。

他在研究海岸线长度时发现，地理中的曲线长度与其曲线细节有着很大的关联，并且这些曲线通常表现出具有无限长或者是无法定义的特性。幸运的是这些曲线同时表现出了一个很好的特性——“自相似性”。取曲线的一小部分等比例放大后，我们会惊奇地发现放大后的部分曲线的形状与原来的整体具有很大的相似性。Mandelbrot指出自相似性是一个十分强大的工具，在各个领域均有很大的作用。  

在自相似性的基础上，Mandelbrot为了进一步解释海岸线长度无法确定的现象提出了分数维的概念，他先分析了一维与二维的情形，记相似比率为r（N），一维时r(N)=1/N,二维时r(N)=1/N^1/2,更一般的，D维时，r(N)=1/N^1/D,由此他推导出计算维数（包括分数维）的公式：D=-log N/log r (N). 最后Mandelbrot还在文中给出了构造自相似曲线的方法以及自相似需要满足的两个条件。

 

二、        观点评论

分数维的引入应当是个很大的突破。整数维虽然简洁优美，但是它确实存在着局限性，假设我们将所有曲线都归类于一维的，那么类似于科赫雪花这样的曲线的各种特性就很难刻画，而且人们很可能会排斥这类构造出来的“怪胎”。分数维的引入将维数这原本离散的数据类型连续化，连续性可以给我们的研究带来很多便利。

Mandelbrot在文中指出自相似性在自然界中不常见，而在统计形式中遇到的比较多。但是我觉的自然界中的自相似性（或广义的自相似性）还是蛮多的。浩瀚的宇宙与微小的原子就有极强的自相似性，均是较小的物体绕着较大的物体旋转，这无疑是自然界最美妙的表现了。很多植物例如花椰菜也具有自相似性，人体也具有自相似性，人体是一个躯干五个分支（四肢与头），而我们的四肢又都是一个躯干加五个分支。所以，在我看来自然界中，自相似性是普遍存在的，就如美一样，自然界并不缺乏自相似性，而是我们缺乏发现自相似性的眼睛。

 

三、        阅读体会

《英国的海岸线有多长:统计自相似性与分数维数》一文可以说是将现实问题转化为数学问题的典范，或则说是数学建模中的经典。面对在常人看来简单得不能再简单的长度测量问题，Mandelbrot以他独特的视角发现了一个全新的研究领域。

“独特的视角”是一件很神奇的工具，利用好它能帮助我们发现很多我们忽略的事实，能在我们对一个问题无从下手时给我们指出方向。然而想要拥有这件工具我们不能让自己沦落为乌合之众，要保持自己独特的个性，要拥有辩证的思考能力，这些都需要我们平时去锻炼。

万物皆数，从海岸线问题中发现自相似性，利用分数维去定义由海岸线归类出的曲线，进一步产生分形这一研究领域，这就是数学的力量。数学凭借其简洁优美的方式描述着这个世界，让我们更深入世界的本质。

分形作为混沌的一个分支，同样有着混沌的特性。分形拥有自相似性，故在数学上可以由迭代生成，对于不同的初始值通过不断的迭代来刻画之后的差异，混沌的初值敏感性也恰恰可由迭代来表现。自己用相关软件绘制分形图形时，通过细微地改变输入参数，可以得到不同的炫酷的图像，体验到了分形的魅力。