给定一个数组,其所有元素都是正数,找到子序列的最大和,其中序列中没有2个数字应该在数组中相邻.所以3 2 7 10应该返回13(3和10的总和)或3 2 5 10 7应该返回15(3和5和7的总和).
我尝试使用所有可能的金额,然后找到最大值(强力方法),但有什么更好的方法.例如[3 2 7 10]我总和3,7和2,10并且最大.
更多例子
> [3,2,7,1]:返回10
> [6,1,4]:返回10
> [8,9,5,1]:返回13
> [29,77,16]:返回77
> [29,44,16]:返回45
解决方法
这个问题可以通过动态编程来解决.
假设我们有一个整数数组:
i[1],i[2],i[3],...,i[n],i[n+1],i[n+2]
我们将数组分成两部分:第一部分包含前n个整数,第二部分是最后两个整数:
{i[1],i[n]},{i[n+1],i[n+2]}
我们将M_SUM(n)表示为每个要求的前n个整数的最大和.
会有两种情况:
>如果i [n]不被计入M_SUM(n),则M_SUM(n 2)= M_SUM(n)MAX(i [n 1],i [n 2])
>如果i [n]被计入M_SUM(n),则M_SUM(n 2)= M_SUM(n)i [n 2]
那么M_SUM(n 2)我们正在寻找的值将是上述两者的较大值.
function M_SUM(n) return MAX(M_SUM(n,true),M_SUM(n,false)) function M_SUM(n,flag) if n == 0 then return 0 else if n == 1 return flag ? i[0] : 0 } else { if flag then return MAX( M_SUM(n-2,true) + i[n-1],M_SUM(n-2,false) + MAX(i[n-1],i[n-2])) else return MAX(M_SUM(n-2,false) + i[n-2],true)) }
“flag”表示“允许使用最后一个整数”
该算法具有指数时间复杂度.
可以采用动态编程技术来消除M_SUM的不必要的重新计算.
将每个M_SUM(n,标志)存储到n * 2矩阵中.在递归部分,如果这样的值不存在于矩阵中,则计算它.否则,只需从矩阵中获取值.这将使时间复杂度降至线性.
该算法将具有O(n)时间复杂度和O(n)空间复杂度.
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