C++ 浅谈平行四边形不等式优化DP

前言

在一些DP中，三重的循环容易造成超时，那么又什么方法来优化呢?

当然有，有一种叫做平行四边形不等式的玩意优化DP

平行四边形不等式

如果有两个区间满足 f[a][c]+f[b][d]<=f[b][c]+f[a][d]，那么这个小编就是平行四边形不等式

可以这样理解，交叉或包含的两个区间，a到c和b到d的值满足小于等于包含的两个区间（bc包含于ad）

还有就是决策单调性 

     w[i,j]<=w[i',j']   ([i,j]属于[i',j']) 既 i'<=i

平行四边形不等式的性质

这玩意儿有什么性质，对边互相平行？

非也，这玩意儿有两个性质

定义一个 动态转移方程 f [ i ][ j ] = min ( f [ i ][ j ],f[ i - 1 ][ k ] + w[ k - 1 ][ j ] ) 

一. 如果w满足决策单调性 ​​​​且满足平行四边形不等式那么 f 也满足四边形不等式

二. 当定理一的条件满足时，让d[i,j]取最小值的k为K[i,j]，则K[i,j-1]<=K[i,j]<=K[i+1,j] 

三. w为凸当且仅当w[i,j]+w[i+1,j+1]<=w[i+1,j]+w[i,j+1] 

(后两条我也不懂)

DP优化

有一动态转移方程 f [ i ][ j ] = min ( f [ i ][ j ],f[ i - 1 ][ k ] + w[ k - 1 ][ j ] ) ，满足平行四边形不等式，那么其决策性s[ i ] [ j ] 满足

s[ i - 1 ][ j ] <= s[ i ][ j ] <= s[ i ][ j  + 1 ],这样就可以约束 k （只用从s[ i - 1 ][ j ] 循环到s[ i ][ j  + 1 ] ，因为其最优决策性必定在这当中），减少 k 的循环次数，从而减少一重循环。