【数据结构】堆 Heap

1. 堆的定义：

堆(Heap) - 也叫做优先队列(Priority Queue)；二叉堆是一个完全二叉树或近似完全二叉树。满足如下的两个属性:

1 父节点的键值总是大于或等于(小于或等于)它的任意一个子节点的键值(顺序性)；

2 堆总是一个完全二叉树；

将根节点最大的堆叫做最大堆；根节点最小的堆叫做最小堆；

2. 堆的存储：

可以采用数组来表示堆；我们使用下标1作为数组的开始；声明数组X[n + 1]，空出元素X[0]，根位于X[1]，它的两个子节点分别位于X[2]，X[3]，... ...

堆的典型定义如下(数组X满足如下条件)：

{

root 节点索引：1

left child(i) 当前节点i的左子节点索引：2 × i

right child(i) 当前节点i的右子节点索引：2×i + 1

parent(i) 当前节点i的父节点的索引值：i/2

}

示例如下：X[1,... ... n]

3. 堆的操作：

两个关键的函数：siftup，siftdown：

3.1. siftup:

描述：现有数组X[1,... ...,n-1]为一个堆，插入一个新的元素在位置X[n]上，新的元素的键值可能小于其父节点，此时需将该节点向上调整，是X[1,... ... n]重新成为一个堆；

/**
 * @param newItem the new inserted item
 * @param n       the current index in the array X for the newItem,initially it is the last index of the array + 1
 */
void siftup(T newItem,int n)
{
    int currentIndex = n;
	
    for (int parentIndex = ParentIndex(currentIndex); parentIndex > 0 && newItem < X[parentIndex]; )
	{
	    X[currentIndex] = X[parentIndex];
		currentIndex = parentIndex;
		parentIndex = ParentIndex(parentIndex);
	}
}

3.2. siftdown:

描述：现有数组X[1,... ...n]为一个堆,给X[1]分配一个新的值，重新调整使X重新满足堆的条件；

/**
 * @param n the replaced node index,initially n = 1,replace the root node
 * @param newItem the new replaced value on X[n]
 */
void siftdown(int n,T newItem)
{
    int currentIndex = n;
	
	// If current node owns child node(s),check
    while (getLeftChildindex(currentIndex) > heapSize)
	{
	    int leftChildindex = getLeftChildindex(currentIndex);
	    int rightChildindex = getRightChildindex(currentIndex);
	
	    // get the index whose item value is the less one.
        int minItemIndex = (rightChildindex < heapSize) ? (X[leftChildindex] < X[rightChildindex] ? leftChildindex : rightChildindex) : (leftChildindex);
		
		if (newItem > X[minItemIndex])
		{
		    X[currentIndex] = X[minItemIndex]; // swap value
			currentIndex = minItemIndex;
		}else
		{
		    // exit
			break;
		}
	}	
	X[currentIndex] = newItem;
}

3.3. 堆插入元素insert：

描述：每次插入都是将新数据放在数组的最后；然后向上调整使其重新满足堆条件；

void insert(T newItem)
{
    siftUp(newItem,heapSize);
}

3.4. 堆删除元素delete:

描述：堆中每次只能删除根节点X[1]；为了便于重建堆，实际的操作是将最后一个数据的值赋给根节点，然后再向下调整，使其满足堆条件；

T delete()
{
    T deletedItem = X[1];
	
    heapSize -= 1;
    siftdown(1,X[n]);
	
    return deletedItem;
}

3.5. 堆排序：

描述：堆X[1,... ... n]建好之后，X[1]为最小的元素；将X[1]取出，放在X[n]位置上，然后将原来的X[n]放在X[1]上，向下调整，得到新的堆X[1,... ... n - 1]；然后将新堆的X[1]放在X[n - 1]上，X[n - 1]放到X[1]上，siftdown得到新的堆X[1,... ... n-2]；重复上面过程直到X[1]与X[2]交换为止；

void sort()
{
    for (int i = n; i > 1; i--)
	{
	    swap(X[1],X[i]);
	    heapSize -= 1; // reduce the heap size.
	    siftdown(1,X[1]); // current X[1] is the new value which is the X[i] before the swaption.
	}
}

3.6. 堆操作的动态演示：

http://www.benfrederickson.com/2013/10/10/heap-visualization.html

4. C++ STL中的堆操作：

【数据结构】堆 Heap

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