索引单子的高阶编码是如何工作的？

如何解决索引单子的高阶编码是如何工作的？

定义索引 monad a la Atkey 的常用方法是：

class IxMonad m where
  ireturn :: a -> m i i a
  ibind   :: m i j a -> (a -> m j k b) -> m i k b

在 McBride 的工作中发现了另一种方法（也被他 here 讨论过）：

type f :-> g = forall i. f i -> g i

class MonadIx (m :: (state -> *) -> (state -> *)) where
  returnIx    :: f :-> m f
  flipBindIx  :: (f :-> m g) -> (m f :-> m g)

flipBindIx 的类型与 bindIx :: forall i. m f i -> (forall j. f j -> m g j) -> m g i 同构。正常的 Haskell monad 表征 m :: * -> *（而“正常”索引的 monad 表征 m :: state -> state -> * -> *），而 MonadIx 表征 monad m :: (state -> *) -> state -> *。这就是为什么我称后者为“高阶”（但如果有更好的名字，请告诉我）。

虽然这在一定程度上有意义，并且我可以看到两种编码之间的某些结构相似性，但我在一些事情上遇到了困难。以下是一些看似相关的问题：

• 基本上，我只是不明白如何使用 MonadIx 编写一个简单的索引状态 monad——IxMonad 中的那个看起来就像常规状态 monad，带有更一般的类型。

• 相关地，在之前链接的 SO 问题中，Kmett discusses 是一种从 IxMonad 中“恢复”MonadIx 的力量的方法。然而，该技术并未完全展示（而且我无法再编译相关代码）。

• MonadIx 比 IxMonad 强。这表明应该存在从任何 IxMonad m => m i o a 到某个 MonadIx m => m f（或者是 m f i？）的映射，但不是相反，对吗？那是什么映射？

• 最后，MonadIx 的定义中充满了参数化。但是 IxMonad 动作可以自由地对传入状态的形状提出要求，如 m :: IxMonad m (a,i) i a。 MonadIx 中的此类操作如何？

解决方法

我只是不明白如何使用 MonadIx 编写一个简单的索引状态 monad——在 IxMonad 中的那个看起来就像常规状态 monad，具有更通用的类型。

McBride 风格的索引 monad 是关于量化运行时不确定性。如果普通 monad m a 对返回 a 的计算进行建模，则索引 monad m a i 对从 state* i 开始并返回 a j 的计算进行建模对于某些未知输出状态 j。关于 j，您唯一可以说的是它满足谓词 a。

^{*我在这里使用了“状态”、“输入”和“输出”这三个词。}

这就是 McBride 的 bind 具有更高等级类型的原因：

mcBind :: m a i -> (forall j. a j -> m b j) -> m b i

延续 forall j. a j -> m b j 必须与 j 无关，超出了它在运行时检查 a j 所能学到的。 （对于返回多个 a 的非确定性 monad，它们中的每一个的 j 可能不同。）

McBride 来自 the Outrageous Fortune paper 的运行示例是关于文件 API，它可能成功返回打开的文件或可能失败（如果文件不存在）。 the Hasochism paper 中还有另一个关于平铺窗口管理器的示例 — 您有一个 2D 框，它可能由彼此相邻放置的较小框组成。您可以深入查看单个框并用其他框替换它们。您不知道每个单独的盒子在静态上有多大，但是当用另一个盒子替换一个盒子时，它们必须具有相同的大小。

因此索引状态 monad (State i j a) 采用已知的输入状态 i 并产生已知的输出状态 j，只是不适合 strong> 用于 McBride 风格的索引 monad。 mcBind 的类型是错误的，因为它丢弃了有关输出状态的信息。

[T] 这里应该是从任何 IxMonad [到] MonadIx 的映射，但不是相反，对吗？那是什么映射？

相反。 McBride 的索引 monad 比 Atkey 的更强大——如果你有一个 m :: (i -> *) -> i -> * 的实例为 MonadIx，你总是可以想出一个对应的 n :: i -> i -> * -> * 的实例为 IxMonad . （Surprisingly the reverse is also true。）这在 McBride 的论文（“天使、恶魔和鲍勃”）的第 5 节中有详细说明。简而言之：

-- McBride wittily pronounces this type "at key"
data (a := i) j where
    V :: a -> (a := i) i

newtype Atkey m i j a = Atkey { getAtkey :: m (a := j) i }

instance MonadIx m => IxMonad (Atkey m) where
    ireturn a = Atkey (returnIx (V a))
    ibind (Atkey m) f = Atkey $ m `bindIx` (\(V a) -> getAtkey (f a))