f(n)=(1-f(n-1))*c+f(n-1), 其中 f(0)=c 的递推解应该是什么？

如何解决f(n)=(1-f(n-1))*c+f(n-1), 其中 f(0)=c 的递推解应该是什么？

我有一个公式需要编码。
但等式的形式为 f(n)=(1-f(n-1))*c+f(n-1),
where f(0)=c。现在，它与斐波那契数列非常相似，因此很明显它需要指数级的时间并减慢我的整个过程。

那么，我如何在理论上设计递归解决方案并找到有效代码结构的替代方法？

解决方法

该公式不像斐波那契，因为它只取决于前一个结果，而斐波那契数列则取决于前两个项。

首先，您应该将方程转换为前一项只出现一次，而不是两次。这是给出的：

?_? = (1 − ?_?−1)? + ?_?−1

但这可以改写为：

?_? = (1 − ?)?_?−1 + ?

现在让我们从基本情况开始分析这个公式是如何展开的：

?₀ = ?

?₁ = (1−?)?₀ + ?
= (1−?)? + ?

?₂ = (1−?)?₁ + ?
= (1−?)[(1−?)? + ?] + ?
= (1−?)²? + (1−?)? + ?

?₃ = (1−?)?₂ + ?
= (1−?)[(1−?)²? + (1−?)? + ?] + ?
= (1−?)³? + (1−?)²? + (1−?)? + ?

...

?_? = ∑_{_?=0..?}(1−?)^k?
= ?∑_{_?=0..?}(1−?)^k

总和是 geometric series，所以我们可以写：

?_? = ?(1 − (1−?)^?+1) / (1 − (1−?))
= 1 − (1−?)^?+1

显然，这很容易编程为 O(1) 算法。

这种复杂性假设算术运算在所选的编程语言中花费恒定的时间。但是，如果要使用任意大（大）整数，则这些算术运算不需要恒定时间。

 f(n) = (1-f(n-1))*c + f(n-1)
      = c - c*f(n-1) + f(n-1)
      = c + (1-c)*f(n-1)

这不是指数，也与斐波那契数列不同。它的格式为：f(n) = a*f(n-1) + b

您可以直接实现这一点，这将是线性时间（对函数 O(n) 进行 f 次调用）。

或者，您可以通过求解线性一阶递推关系将方程简化为直接表达式，这将得到：

f(n) = 1 - (1-c)^n + c*(1-c)^n

可以在O(1)中计算

我只能给你递归代码。

c = 2 # You can use any number.

def algorithm(num):
    if not num: return c #(returns c if num == 0
    fminus1 = algorithm(num - 1)
    return (1 - fminus1) * c + fminus1

这个递归解决了

f(n) = -(1 - c)ⁿ⁺¹ + 1.

要知道为什么，让我们首先注意到递归步骤可以重写为

f(n) = (1 - c)f(n - 1) + c。

这是一个线性异质递推关系。为了解决它，我们首先解决相关方程

f(n) = (1 - c)f(n - 1)

得到一般解 f(n) = a(1 - c)ⁿ。

接下来，我们寻找一般复发的任何解决方案

f(n) = (1 - c)f(n - 1) + c

并将其添加进去。我们将猜测答案的形式为 s，因为这通常是这些事情的工作方式，然后求解方程

f(n) = (1 - c)f(n - 1)+ c → s = (1 - c)(s) + c

这意味着

s = (1 - c)s + c

s - (1 - c)s = c s(1 - 1 + c) = c

cs = c

s = 1

所以解的一般形式将是 a(1 - c)ⁿ + 1。求解边界条件 f(0) = c 给出

a(1 - c)⁰ + 1 = c

a + 1 = c

a = c - 1

所以递归求解为

f(n) = (c - 1)(1 - c)ⁿ + 1,

或

f(n) = -(1 - c)ⁿ⁺¹ + 1.

让我们试试这个。对于 c = 0，我们得到 f(n) = -1ⁿ + 1 = 0，我们有

f(0) = 0
f(1) = (1 - 0)f(0) + 0 = 0
f(2) = (1 - 0)f(1) + 0 = 0
…

对于 c = 1，我们有 f(n) = -(1 - 1)ⁿ + 1 = 1，我们有

f(0) = 1
f(1) = (1 - 1)f(0) + 1 = 1
f(2) = (1 - 1)f(1) + 1 = 1
…