如何在 4D 平面上的点周围找到均匀分布的点？

如何解决如何在 4D 平面上的点周围找到均匀分布的点？

我正在尝试创建一个需要我改变一组概率的模拟，即变量的总和必须为 1。

当我想改变一组 3 个概率的参数时，我将每个参数视为 3D 空间中的一个轴，并使用方程 p0 + rcos(v) 在 x + y + z = 1 平面上参数化一个圆(dot) u1 + rsin(v) (dot) u2，其中p0是表示原始概率的点，u1和u2是平行于平面的垂直向量，(dot)表示点积，r和v是自由变量.通过改变 r 并为 v 沿 2pi 选择几个点，我可以生成一组接近原始但仍然有效的概率，满足我们的约束。

我现在遇到的问题是，当我尝试对一组 4 个概率（即 4D 空间）执行此操作时，我无法想象或找到扩展此方程组的方法。有没有办法实现类似于我对 4D 案例的 3D 案例所拥有的东西？我最初为 3D 生成概率的方法是不是很蠢？如果是，那么标准的方法是什么？

解决方法

我假设你想要一个均匀分布的分布

一种方法是

1. 对 4D 高斯分布进行采样，该分布已知在所有方向 1 上均匀分布。
2. 在超平面 2,3 中投影样本点。
3. 将坐标标准化为半径 1（只需除以 sqrt(sum(x**2))）。

这是一种高级方法，您可以使其更有效地用于 4D，但此实现很容易扩展到 N 维空间。

给定 4D 超平面的基础，您可以使用 3D 采样，就像将圆放置在 3D 平面上一样，对于在 3D 球体 here 中均匀采样点的教程，对于“官方”消息来源说同样的支票here。

,

首先考虑 3d 情况的不同方法，它不需要任何三角函数：

您对向量元素的总和感兴趣，称之为 S(v)。

v = (2,3,5) S(v) = 10

你对 S = 1 平面感兴趣，它有一个我们称之为 k 的法向量：

k = (1/3,1/3,1/3) = (1/3)(1,1,1)

你在那个平面上有一个点 p₀ (S(p₀)=1)，和 您想要平面中与 p₀ 相距 r 的一些点。

从一些随机选择的点开始，它们均匀分布在原点 x²+y²+z²

现在将每个点投影到 S=0 平面上：

v -> v - S(v)k

（注视它直到它有意义。）现在您将点分散在半径为 1 的圆盘中，垂直于 k。它们在圆盘中不均匀，靠近中间更厚，但它们在角度上是均匀的。现在缩放每个点以将其移动到半径为 r 的圆：

v -> v r/|v|

现在移动点环以p₀为中心：

v -> v + p₀

现在是踢球者。 您刚刚在 n 维中所做的一切都像在 3 维中一样轻松。