非线性约束的优化问题

如何解决非线性约束的优化问题

我是优化问题的新手，正在研究一个简单的最大化问题，我可以在 Excel 中非常简单地解决这个问题。但是，我需要在 Python 中扩展它并需要一些帮助。

我有一份不同食物的菜单，我需要最大限度地输出能量。示例：

宏	食物	卡路里	能源
蛋白质	鱼	100	60
蛋白质	羊肉	200	40
蛋白质	鸡蛋	200	38
碳水化合物	香蕉	200	25
碳水化合物	土豆	200	30
碳水化合物	米饭	200	40
脂肪	鳄梨	450	50
脂肪	奶酪	400	60
脂肪	奶油	500	55

考虑到以下限制，我需要最大化能量（e）：

每个 Macros(m) 只能消耗 1 个食品 (i)。所以我需要一个指示变量 (0/1) 来从 m - 蛋白质、脂肪和碳水化合物中的每一个中只选择 1 个。
总卡路里数 (c) 不应超过恒定值假设每个项目有 1 个部分（对此没有限制）

问题表述：

变量： X (m,i) → 二元变量 = {1,如果宏 m 和项目 i 被选中,0 否则}

最大化 e(m,i) * X(m,i)

参数：卡路里 (C) -> 每种卡路里（宏观、食物）

受约束：对于每个 m，Σ X (m,i)

到目前为止，我认为这是一个具有非线性约束的混合整数问题。

我曾尝试使用 Pulp，但由于非线性约束而失败。如果我去除非线性，它就可以正常工作。
我尝试使用 Scipy Optimize，但 Scipy 不允许创建整数变量。

我如何使用 Python 解决这个问题？我是否误解了这里的问题？

更新： 上面缺少由于 mean 而添加的非线性组件。我将问题从 total 上的约束更新为 mean 上的约束。在非数学术语中，我取所有宏相乘后得到的数字的平均值，因为我希望我的平均卡路里小于常数 N。

从数学上来说， Σ c(m,i)/ X(i)

解决方法

正如您已经提到的，scipy.optimize.minimize 无法处理混合整数问题 (MIP)。最多可以做的是尝试通过惩罚方法来解决 MIP，即在目标上添加一个惩罚函数，如 1.0/eps * np.sum(x*(1 - x))，其中 eps > 0 是给定的惩罚参数，x np.ndarray。

但是，使用 MIP 求解器解决问题要方便得多。由于您的问题具有众所周知的类似背包的结构，您甚至可以期待非商业 MIP 求解器（PuLp 默认使用 CBC）来利用您问题的底层结构。在这里，我推荐以下公式：

Binary variables:
x[i] = 1 if fooditem i is chosen,0 otherwise

Parameters:
a[i][m] = 1 if fooditem i covers macro m,0 otherwise
c[i]        calories for fooditem i
e[i]        energy for fooditem i
N           total calories limit

Model:

max Σ (e[i] * a[i][m] * x[i],∀ i ∈ Fooditems,m ∈ Macros)

s.t. Σ (a[i][m] * x[i],∀ i ∈ Fooditems) <= 1  ∀ m ∈ Macros. (1)
     Σ (c[i] * x[i],∀ i ∈ Fooditems)    <= N                (2)

可以像这样建模和求解：

import pulp

fooditems = {
    'Fish':    {'macro': 'Protein','calorie': 100,'energy': 60},'Lamb':    {'macro': 'Protein','calorie': 200,'energy': 40},'Egg':     {'macro': 'Protein','energy': 38},'Banana':  {'macro': 'Carbs','energy': 25},'Potato':  {'macro': 'Carbs','energy': 30},'Rice':    {'macro': 'Carbs','Avocado': {'macro': 'Fat','calorie': 450,'energy': 50},'Cheese':  {'macro': 'Fat','calorie': 400,'Cream':   {'macro': 'Fat','calorie': 500,'energy': 55},}

# parameters
macros = list({fooditems[i]['macro'] for i in fooditems})
a = {item: {m: 1 if m == fooditems[item]['macro']
            else 0 for m in macros} for item in fooditems}
c = {item: fooditems[item]['calorie'] for item in fooditems}
e = {item: fooditems[item]['energy'] for item in fooditems}
N = 1000

# pulp model
mdl = pulp.LpProblem("bla",pulp.LpMaximize)

# binary variables
x = pulp.LpVariable.dicts("x",fooditems,cat="Binary")

# objective
mdl += pulp.lpSum([e[i] * a[i][m] * x[i] for m in macros for i in fooditems])

# constraints (1)
for m in macros:
    mdl += (pulp.lpSum([a[i][m]*x[i] for i in fooditems]) <= 1)

# constraints (2)
mdl += (pulp.lpSum([x[i]*c[i] for i in fooditems]) <= N)

# solve the problem
mdl.solve()

print(f"Status: {pulp.LpStatus[mdl.status]}")
for var in mdl.variables():
    print(f"{var.name} = {var.varValue:.0f}")
print(f"energy: {mdl.objective.value()}")

这产生了

Status: Optimal
x_Avocado = 0.0
x_Banana = 0.0
x_Cheese = 1.0
x_Cream = 0.0
x_Egg = 0.0
x_Fish = 1.0
x_Lamb = 0.0
x_Potato = 0.0
x_Rice = 1.0
Energy: 160.0