如何解决在 3D 球体上插入非均匀分布的点
我在单位球面上有几个点,它们根据 https://www.cmu.edu/biolphys/deserno/pdf/sphere_equi.pdf 中描述的算法(并在下面的代码中实现)进行分布。在这些点中的每一个上,我都有一个值,在我的特定情况下,它表示 1 减去一个小错误。如果这很重要,错误在 [0,0.1]
中,所以我的值在 [0.9,1]
中。
遗憾的是,计算错误是一个代价高昂的过程,我无法根据需要计算尽可能多的点数。不过,我希望我的情节看起来像我在绘制“连续”的东西。 所以我想为我的数据拟合一个插值函数,以便能够采样尽可能多的点。
经过一些研究,我发现 scipy.interpolate.SmoothSphereBivariateSpline 似乎完全符合我的要求。但我无法让它正常工作。
问题:我可以用什么来插值(样条、线性插值,目前什么都可以)我的单位球体数据?答案可以是“您误用了 scipy.interpolation
,这是执行此操作的正确方法”或“此其他函数更适合您的问题”。
在安装了 numpy
和 scipy
的情况下应该可执行的示例代码:
import typing as ty
import numpy
import scipy.interpolate
def get_equidistant_points(N: int) -> ty.List[numpy.ndarray]:
"""Generate approximately n points evenly distributed accros the 3-d sphere.
This function tries to find approximately n points (might be a little less
or more) that are evenly distributed accros the 3-dimensional unit sphere.
The algorithm used is described in
https://www.cmu.edu/biolphys/deserno/pdf/sphere_equi.pdf.
"""
# Unit sphere
r = 1
points: ty.List[numpy.ndarray] = list()
a = 4 * numpy.pi * r ** 2 / N
d = numpy.sqrt(a)
m_v = int(numpy.round(numpy.pi / d))
d_v = numpy.pi / m_v
d_phi = a / d_v
for m in range(m_v):
v = numpy.pi * (m + 0.5) / m_v
m_phi = int(numpy.round(2 * numpy.pi * numpy.sin(v) / d_phi))
for n in range(m_phi):
phi = 2 * numpy.pi * n / m_phi
points.append(
numpy.array(
[
numpy.sin(v) * numpy.cos(phi),numpy.sin(v) * numpy.sin(phi),numpy.cos(v),]
)
)
return points
def cartesian2spherical(x: float,y: float,z: float) -> numpy.ndarray:
r = numpy.linalg.norm([x,y,z])
theta = numpy.arccos(z / r)
phi = numpy.arctan2(y,x)
return numpy.array([r,theta,phi])
n = 100
points = get_equidistant_points(n)
# Random here,but costly in real life.
errors = numpy.random.rand(len(points)) / 10
# Change everything to spherical to use the interpolator from scipy.
ideal_spherical_points = numpy.array([cartesian2spherical(*point) for point in points])
r_interp = 1 - errors
theta_interp = ideal_spherical_points[:,1]
phi_interp = ideal_spherical_points[:,2]
# Change phi coordinate from [-pi,pi] to [0,2pi] to please scipy.
phi_interp[phi_interp < 0] += 2 * numpy.pi
# Create the interpolator.
interpolator = scipy.interpolate.SmoothSphereBivariateSpline(
theta_interp,phi_interp,r_interp
)
# Creating the finer theta and phi values for the final plot
theta = numpy.linspace(0,numpy.pi,100,endpoint=True)
phi = numpy.linspace(0,numpy.pi * 2,endpoint=True)
# Creating the coordinate grid for the unit sphere.
X = numpy.outer(numpy.sin(theta),numpy.cos(phi))
Y = numpy.outer(numpy.sin(theta),numpy.sin(phi))
Z = numpy.outer(numpy.cos(theta),numpy.ones(100))
thetas,phis = numpy.meshgrid(theta,phi)
heatmap = interpolator(thetas,phis)
上面代码的问题:
- 按照原样,我有一个
在初始化ValueError: The required storage space exceeds the available storage space: nxest or nyest too small,or s too small. The weighted least-squares spline corresponds to the current set of knots.
interpolator
实例时引发。 - 上面的问题似乎是说我应该更改
s
的值,该值是 scipy.interpolate.SmoothSphereBivariateSpline 的参数之一。我测试了s
的不同值,范围从0.0001
到100000
,上面的代码总是引发上述异常或:ValueError: Error code returned by bispev: 10
编辑:我在这里包括我的发现。它们不能真正被视为解决方案,这就是为什么我正在编辑而不是作为答案发布。
通过更多的研究,我发现了这个问题 Using Radial Basis Functions to Interpolate a Function on a Sphere。作者和我有完全一样的问题,使用了不同的插值器:scipy.interpolate.Rbf。我通过替换插值器和绘图更改了上面的代码:
# Create the interpolator.
interpolator = scipy.interpolate.Rbf(theta_interp,r_interp)
# Creating the finer theta and phi values for the final plot
plot_points = 100
theta = numpy.linspace(0,plot_points,numpy.ones(plot_points))
thetas,phis)
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib import cm
colormap = cm.inferno
normaliser = mpl.colors.normalize(vmin=numpy.min(heatmap),vmax=1)
scalar_mappable = cm.ScalarMappable(cmap=colormap,norm=normaliser)
scalar_mappable.set_array([])
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111,projection="3d")
ax.plot_surface(
X,Y,Z,facecolors=colormap(normaliser(heatmap)),alpha=0.7,cmap=colormap,)
plt.colorbar(scalar_mappable)
plt.show()
这段代码运行流畅,结果如下:
插值看起来没问题除了在不连续的一行上,就像在引导我上这门课的问题中一样。 One of the answer 给出了使用不同距离的想法,更适应球面坐标:haversine 距离。
def haversine(x1,x2):
theta1,phi1 = x1
theta2,phi2 = x2
return 2 * numpy.arcsin(
numpy.sqrt(
numpy.sin((theta2 - theta1) / 2) ** 2
+ numpy.cos(theta1) * numpy.cos(theta2) * numpy.sin((phi2 - phi1) / 2) ** 2
)
)
# Create the interpolator.
interpolator = scipy.interpolate.Rbf(theta_interp,r_interp,norm=haversine)
执行时给出警告:
LinAlgWarning: Ill-conditioned matrix (rcond=1.33262e-19): result may not be accurate.
self.nodes = linalg.solve(self.A,self.di)
结果完全不是预期的:内插函数的值可能高达 -1
,这显然是错误的。
解决方法
您可以使用笛卡尔坐标代替球坐标。
Rbf 使用的默认范数参数 ('euclidean'
) 就足够了
# interpolation
x,y,z = numpy.array(points).T
interpolator = scipy.interpolate.Rbf(x,z,r_interp)
# predict
heatmap = interpolator(X,Y,Z)
结果如下:
ax.plot_surface(
X,Z,rstride=1,cstride=1,# or rcount=50,ccount=50,facecolors=colormap(normaliser(heatmap)),cmap=colormap,alpha=0.7,shade=False
)
ax.set_xlabel('x axis')
ax.set_ylabel('y axis')
ax.set_zlabel('z axis')
如果需要,您也可以使用余弦距离(范数参数):
def cosine(XA,XB):
if XA.ndim == 1:
XA = numpy.expand_dims(XA,axis=0)
if XB.ndim == 1:
XB = numpy.expand_dims(XB,axis=0)
return scipy.spatial.distance.cosine(XA,XB)
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