查找该算法的时间复杂度

如何解决查找该算法的时间复杂度

我试图找到这个算法的时间复杂度，我尝试使用 T(n) 计算它，假设 T(n) = 2T(n-1) + Const 并得到 O(n) 作为结果。

bool sum(int arr[],int x,int n,int index){
    if(x == 0 && index == 3)
        return true;
    if(n == 0)
        return false;
    if (index == 3)
        return false;

    if(sum(arr+1,x-arr[0],n-1,index + 1))
        return true;
    return sum(arr+1,x,index);
}

顶部调用以 index = 0 开始。基本上我想看看是否有一个三元组的总和为给定值 x。

我错过了什么吗？

解决方法

首先，T(n) = 2T(n-1) + Const 会使 T(n) 为 O(2^n)，而不是 O(n)。如果您没有 index == 3 停止条件，这将是运行时。但是这种停止条件会显着降低运行时间。

找到时间复杂度的一种方法是计算递归树中叶子的数量（即达到停止条件的次数）。每个带有 index == 3 的叶子对应于 n 个元素中的 3 个选择，因此有 C(n,3) 个这样的节点。带有 n == 0 和 index < 3 的叶子对应于 0、1 或 2 个元素的选择，即 C(n,0) + C(n,1) + C(n,2)。因此叶子的总数是 O(n^3)。

由于内部节点的数量（未达到停止条件并因此进行递归调用的调用）大约等于叶子的数量，并且每次调用都执行 O(1) 工作，不包括递归调用，总数运行时间为 O(n^3)。

获得相同结果的另一种方法是考虑T(n,index)：

T(n,3) = C = O(1)
T(n,2) = T(n-1,3) + T(n-1,2) + C = O(n)
T(n,1) = T(n-1,2) + T(n-1,1) + C = O(n^2)
T(n,0) = T(n-1,1) + T(n-1,0) + C = O(n^3)

,

假设顶级调用是使用 index == 0（来自评论）进行的，算法是 O(n³)。忽略实现的细节，更抽象地考虑它在做什么：

• 它对数组 arr 执行线性扫描，其中
  • 对于每个元素e，它在arr之后开始对e的尾部执行线性扫描，其中
    • 对于每个元素f，它在arr之后开始对f的尾部执行线性扫描，其中
      • 对于每个元素g，它检查是否e + f + g == x

边界情况是没有三元组元素和为 x 的情况，在这种情况下，直到所有扫描完成，过程才会结束。从该描述中可以清楚地看出，递归等效于三重嵌套循环。