在 3D 中找到从点到截锥的最短向量

如何解决在 3D 中找到从点到截锥的最短向量

我试图理解在 3D 中计算点和截锥之间的最短向量的某种实现。最初的想法是在 this paper 中引入的。

因此，如果我们有两个球形物体：物体 A 的半径为 rA，位置为 pA 和速度为 vA，物体 B 的半径为 rB，位置为 pB 和速度为 vB，那么我们可以用更简单的方式来表示，计算相对位置和相对位置速度，假设物体 A 是一个点，物体 B 的半径是 rA + rB。

在 2D 中，这看起来像是从图 (a) 到图 (b) 的转换，其中 tau 只是一个标量因子：

一个

3D 图形很相似，但我们有球体而不是圆形。

现在，如果相对速度向量位于灰色截锥内，我们应该找到向量u，它是相对速度V的最小变化来移动它到圆锥的圆周，如下图所示（注意：P 是相对位置）：

这有两种情况：

如果相对速度低于截止圆的中心（蓝虚线下方）。在这种情况下，u 将位于截止圆（较小的圆）上。

第二种情况，我不明白它是如何计算的，当相对速度高于小圆（球体）的中心时，在这种情况下u将投影到圆锥的切线上。 P 和 V 向量表示的平面与大球体的交集是 u 所在的圆。

    const Vector3 relativePosition = other->position_ - position_;
    const Vector3 relativeVeLocity = veLocity_ - other->veLocity_;
    const float distSq = absSq(relativePosition);
    const float combinedRadius = radius_ + other->radius_;
    const float combinedRadiusSq = sqr(combinedRadius);

    Plane plane;
    Vector3 u;

    if (distSq > combinedRadiusSq) {
        /* No collision. */
        const Vector3 w = relativeVeLocity - tau * relativePosition;
        /* Vector from cutoff center to relative veLocity. */
        const float wLengthSq = absSq(w);

        const float dotProduct = w * relativePosition;

        if (dotProduct < 0.0f && sqr(dotProduct) > combinedRadiusSq * wLengthSq) {
            /* Project on cut-off circle. */
            const float wLength = std::sqrt(wLengthSq);
            const Vector3 unitW = w / wLength;

            plane.normal = unitW;
            u = (combinedRadius * tau - wLength) * unitW;
        }
        else {
            **/* Project on cone. I Don't understand this! */


            const float a = distSq;
            const float b = relativePosition * relativeVeLocity;
            const float c = absSq(relativeVeLocity) - absSq(cross(relativePosition,relativeVeLocity)) / (distSq - combinedRadiusSq);
            const float t = (b + std::sqrt(sqr(b) - a * c)) / a;
            const Vector3 ww = relativeVeLocity - t * relativePosition;
            const float wwLength = abs(ww);
            const Vector3 unitWW = ww / wwLength;
            plane.normal = unitWW;
            u = (combinedRadius * t - wwLength) * unitWW;**
        }
    }

我知道最终我们需要找到 t（如代码中所示）来缩放 P。但是，我不明白这里是如何使用叉积的，以及我们试图求解的二次方程代表什么。

这个函数可以在here找到。

解决方法

...虽然我不明白collision avoidance模型是如何工作的，但似乎可以通过考虑绕轴的一些角度来获得相关方程。

顺便说一句，它看起来像一个不适合SO的纯数学问题。如果您想提出此类问题，Mathematics Stack Exchange 可能是更好的地方。

附录：另一种方法

为了使问题/答案更加具有针对性，我想考虑另一种编码方法的可能性。由于我们可以在实际程序中毫不犹豫地使用很多数学函数（例如asin()，sqrt()），因此也可以通过使用数学函数和{来计算没有quadratic equation的交叉点{1}}，如下。

vector algebra