计算最优捐赠分配的难度返回最大网络流量

如何解决计算最优捐赠分配的难度返回最大网络流量

希望有人能花点时间考虑以下问题，欢迎大家一起讨论。问题如下：

对于给定的加权有向网络，作为中央权威，他的任务是找到最佳捐赠分配，用m表示，（ m 是一个向量，m=(m_1,m_2,...m_n) 其中 m_i 表示权限分配给 v_i 的商品数量，n 是节点数在网络中），它可以返回网络中的最大流量（所有流量的总和）。具体规则如下：

捐赠给节点的商品可分，但商品总量有限。比方说，用 M 表示的捐赠总额。（想象一下，你正在为网络中的节点分配一个有限的加权蛋糕）。中央机构必须将所有商品捐赠给节点。
将货物分配给节点后，每个节点v_i将分配 她拥有的通过**外向边缘按比例**给她的邻居。

特别是，“每个节点有什么”由两部分组成，一是中央分配（捐赠）的数量，另一部分是它通过传入边缘从其邻居的分发处接收的货物。例如，考虑enter image description here所示的网络，左边的网络是原始网络，虚线方块上的东西是按权限分配的时间表，即分别给v_1、v_2分配1个.那么在这种情况下，v_2 拥有的是 2，等于“1 来自权威分配”加上来自 v_1 的分配的另外 1，因为一旦 v_1 收到来自权威的 1 捐赠，那么它会将 1 传递（分配）给邻居 v_2。另外，v_1 所拥有的只是来自权威捐赠的 1。相反，v_3 的值是 2，它仅来自 v_2 的分布。 因此，简而言之，每个节点所拥有的，除了它从其邻居的分配中获得了多少之外，还等于它收到的捐赠。
“比例性” 每个节点根据每个单条出边的相对权重按比例分配它所拥有的，例如图中，enter image description here同样的，v_2的也是2，因为v_2有两条出边，每条出边的相对权重分别为3/(2+3)、2/(2+3)，所以v_2会分配6/5到 v_4，4/5 到 v_3。

第三条规则被称为“有限责任”，这意味着如果节点所拥有的不小于每个单独传出的权重（容量）之和边，那么节点必须分配的是所有出边的权重（容量）的总和。否则，节点必须按比例分配它所拥有的一切。例如，如enter image description here所示，v_1拥有的是3（来自捐赠），但其总出边容量为2，因此v_1只能分配2个v_2。另外，v_2 有 5 小于 6 (4+2)，因此 v_2 按比例分配到 v_3、v_4 之间，使得 v_4 有 5*2/3=10/3 大于 3，因此 v_4 只给出1 到 v_5、v_6 和 v_7。

还有一个具体的例子，如enter image description here， 假设有一个权限，其捐赠金额为 8（可整除），权限为需要决定如何在网络内的节点之间分配8个捐赠，以最大化网络中的总流量。

假设权限决定给6和2分别提供节点v_1和节点v_3，即m_1=6，m_3=2，其他都为0。那么总流量捐赠后为(1+2+2+8/5+12/5+3)，具体计算如下：

首先，因为对v_1的捐赠是6，不小于v_1的总输出权重（1+2+3），因此v_1和v_2、v_4、v_4之间的每条边都会被充分利用。此外，v_2 会向 v_3 发送 2，因此 v_3 拥有的是 (2+2)，这等于来自 v_2 的分配和来自权威的捐赠之和。然后v_3将它所有的（4）按比例分配给v_1和v_4，导致边缘上的8/5、12/5分别从v_3流到v_1和v_4。

我认为最后一个例子展示了如何计算给定捐赠分配的流量，但我没有展示如何进行捐赠分配，以便我们可以获得网络中的最大总流量，这实际上是我想问的问题.

据我所知，对于任何给定的捐赠分配，可以在多项式时间内计算确切的流量，因此无需担心给定捐赠分配的计算流量。然而，对于任何具有 n 个节点的网络，是否容易计算返回最大总流量的最优捐赠分配？这是一个 np-hard 问题吗？