投影使用雅可比和边缘化矩阵求逆并删除行/列和再求逆是否交换？

如何解决投影使用雅可比和边缘化矩阵求逆并删除行/列和再求逆是否交换？

我尝试检查 2 个 Fisher 矩阵之间的相等性或不等性。

目标太看投影（使用雅可比行列式）和边缘化（矩阵求逆并删除行/列并重新求逆）是否交换。

这两个矩阵的计算方式略有不同。这两个矩阵是 Fisher 矩阵。

实际上，这是在每行/列的初始参数和最终矩阵的最终参数之间改变参数的计算。这就是为什么在两个计算中，我都使用雅可比 J 来制定初始参数和最终参数之间的导数：

公式为：F_final = J^T F_initial J

第一个矩阵的大小为 5x5，第二个矩阵的大小为 4x4。除了第 4 行/列之外，它们是相同的。

1. 首先：我对 5x5 矩阵求逆（它给出了一个 5x5 协方差矩阵）。然后，我“边缘化”，也就是说，我删除了这个协方差矩阵的第 4 行/列。然后，我再次求逆得到一个 4x4 矩阵。

最后，我使用带有公式的 Jacobian 4x4 进行投影：F_final = J^T F_initial J：所以我最后得到一个 4x4 矩阵

2. 要构建的第二个矩阵：我直接在 5x5 的第二个矩阵上进行投影（我记得它与 5x5 相同，除了第 4 行/列）。

我使用 Jacobian 5x5 执行此投影。然后我得到第二个投影矩阵 5x5。最后，我删除了这个 5x5 矩阵的第 4 行/列，得到一个 4x4 矩阵的新投影矩阵。

我想知道在什么条件下我可以使 2 个 4x4 矩阵相等。不知道我的方法对不对。

为了给你展示一个实际的例子，我在下面放了一个小的 Matlab 脚本，它试图遵循上面解释的所有推理：

clear;
clc;

% Big_31 Fisher : 
FISH_Big_1_SYM = sym('sp_',[4,4],'real');
% Force symmetry for Big_31
FISH_Big_1_SYM = tril(FISH_Big_1_SYM.') + triu(FISH_Big_1_SYM,1);

% Big_32 Fisher : 
FISH_Big_2_SYM = sym('sp_',[5,5],'real');
% Force symmetry for Big_32
FISH_Big_2_SYM = tril(FISH_Big_2_SYM.') + triu(FISH_Big_2_SYM,1);

% Jacobian 1 
J_1_SYM = sym('j_','real');
% Jacobian 2 
J_2_SYM = sym('j_','real');

% Remove 4th row/column
J_2_SYM(4,:) = [];
J_2_SYM(:,4) = [];

% Projection
FISH_proj_1 = J_1_SYM'*FISH_Big_1_SYM*J_1_SYM;
size(FISH_proj_1)

% Invert Fisher_2
COV_Big_2_SYM = inv(FISH_Big_2_SYM);

% Remove 4th row/column
COV_Big_2_SYM(4,:) = [];
COV_Big_2_SYM(:,4) = [];

% Re-inverse
FISH_Big_2_SYM_new = inv(COV_Big_2_SYM);

% Projection 2x2
FISH_proj_2 = J_2_SYM'*FISH_Big_2_SYM_new*J_2_SYM;
size(FISH_proj_2)

% Test equality between 2 matrices
isequal(FISH_proj_1,FISH_proj_2)

这个脚本的问题是即使我有小矩阵（4x4 或 5x5），代码运行时间有点长，但结果是矩阵不同。

我希望我说的很清楚，如果我的解释不够准确，请不要犹豫，我会询问更多信息。

更新：我提供了一些人的反馈。重要的一点是在 Matlab 代码的这一部分：

当我这样做时：

% Remove 4th row/column
J_2_SYM(4,4) = [];

我不会删除 Jacobian j_5_1 的元素行 j_5_2、j_5_3、J，当我进行投影时，这些术语不会消失。另一方面，这些术语将保留在另一种方法中，在我考虑到它们的意义上。

所以这是一场失败的战斗吗？

如果是，哪些修改或假设会导致相等？即让两个操作都通勤。

解决方法

要做到np.dot，第一个矩阵的最后一维必须与第二个矩阵的第一维相同。他们不是，所以你得到 ValueError，形状没有对齐。 当您打印时，一切似乎都很好，但后来您忘记了线条：

j_temp = np.copy(J_2_SYM)

# Add row/col into J_2_SYM
j_temp = np.insert(j_temp,2,J_NEU_row_SYM[0,:],axis=0)
j_temp = np.insert(j_temp,J_NEU_col_SYM[:,0],axis=1)

# Copy built J_2_SYM
J_2_SYM = np.copy(j_temp)

所以这就是你改变 J_2_SYM 大小的地方，毕竟它是 (33,16)，所以你不能用 (32,32) 数组做点积。