如何解决用模 2 求解线性矩阵方程
import numpy as np
A = np.array([
[1,1,0],[1,1],[0,1]
])
和一个向量:
b = np.array([0,1])
我想解方程:A * x = b。但我想在模 2 中解决它。这意味着 1 + 1 = 0。所以在这种情况下的解决方案是:
x = np.array([0,1])
我找到了 Solving systems of equations modulo a certain number,with or without numpy,但由于某种原因,该解决方案对我不起作用。我收到错误:
ValueError: pow() 指定第三个参数时第二个参数不能为负
为什么它不起作用?还有其他解决方案吗?
解决方法
由于模数的原因,您不能使用经典的线性代数方法来解决这个组合问题。希望使用模数 2 使问题变得更简单。实际上,加法模数 2 的行为类似于 XOR 二元函数,而乘法则类似于 AND 二元函数。因此,问题可以改写为:
x1 ^ x2 ^ x3 ^ 0 = 0
x1 ^ x2 ^ 0 ^ x4 = 1
x1 ^ 0 ^ x3 ^ x4 = 1
0 ^ x2 ^ x3 ^ x4 = 1
因此:
x1 ^ x2 ^ x3 = 0
x1 ^ x2 ^ x4 = 1
x1 ^ x3 ^ x4 = 1
x2 ^ x3 ^ x4 = 1
这个例子可以很简单地解决,因为x1 ^ x2 ^ x3 = 0
意味着要么x1,x2和x3为零,要么树变量中的两个设置为1,这与以下3条规则相冲突。
然而,在任意的 A
矩阵上,这个问题似乎很难解决,并且非常接近于解决一个 boolean satisfiability problem,它被证明是 NP-complete。
此外,请注意,对于 A
和 b
,解可能不存在或可能不是唯一的。
使用CSP 求解器 绝对有助于轻松解决此问题,但如果问题不是 NP 完全的(这尚未得到证实),则它可能不是最佳方法。有很多 Python 库可以解决这个问题(例如 OR-tools 应该可以做到)。
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