CVXPY 中具有优化变量的块矩阵

如何解决CVXPY 中具有优化变量的块矩阵

我想构建一个具有以下形式的块矩阵

Q = [[A,B],[C,D]]

其中每个块 A,B,C,D 是以下矩阵：

• A 只是 2x2 单位矩阵
• B 是一个 2x1 向量 b=(b_1,b_2) 嵌入到身份 B = diag(b_1,b_2)
的对角线上
• C 是 B
的转置
• D 是由某个常数 d、D = d*A
乘以的 2x2 身份

我的优化问题是 min d 使得 Q >> 0，即 PSD 条件。 我需要帮助解决这个问题。

困惑：

1. 我知道如何使用 Numpy np.eye(2) 制作 2x2 单位矩阵。我不确定在我的矩阵 Q 中使用它是否有意义。
2. 此外，对于 b 我定义 b = cvxpy.Variable((2,1))。然后，我也可以将它的转置定义为 b_t = b.T 但如果没有外积，我如何将其设为矩阵 B 和 C？也就是说，我需要将向量的元素嵌入到矩阵的对角线中。
3. 由于 d 是我最小化的变量，因此我需要将其定义为 d = cvxpy.Variable(1)。但是我不能简单地将它与单位矩阵相乘以获得diag(t,t)，我称之为T = t*np.eye(2)。

一般来说，我不知道是否需要先将块矩阵 Q 定义为 Q = cvxpy.Variable((4,4)) 或 Q = cvxpy.Parameter((4,4))，然后上面的所有术语都使用 cvxpy.bmat 为其提供精确的形式。

感谢任何帮助。

解决方法

您可能会在编程站点以外的地方得到更好的答案。然而，在这种情况下，它是直截了当的。

因为交换两行和（相同的）两列可以通过

M -> Q'*M*Q

其中 Q 是置换矩阵（因此是正交的），如果原始矩阵是 PSD，则这样的变换矩阵将是 PSD。

如果我们写

M = ( 1  0  b1 0 )
    ( 0  1  0  b2)
    ( b1 0  d  0 )
    ( 0  b2 0  d )

并交换我们得到的中间两行和列

M = ( 1  b1 0 0  )
    ( b1 d  0 0  )
    ( 0  0  1 b2 )
    ( 0  0  b2 d )

如果对角线上的两个块是 PSD，则该矩阵将是 PSD，当 iff

d > max( b1*b1,b2*b2)