为什么 (( (λf.λx.f(f(f(x)))) (λg.λy.g(g(y))) ) (λz.z + 1)) (0) 求值为 8？

如何解决为什么 (( (λf.λx.f(f(f(x)))) (λg.λy.g(g(y))) ) (λz.z + 1)) (0) 求值为 8？

所以我有这个 lambda 表达式：(λf.λx.f(f(f(x)))) (λg.λy.g(g(y)))(λz.z + 1)(0) 并且我正在尝试手动评估它。他们的想法是，(λf.λx.f(f(f(x)))) 基本上代表表达式 f(f(f(x)))。那么同样 (λg.λy.g(g(y))) 表示表达式 g(g(y))。然后传入 g(g(y)) 来替换 f。所以我们得到 g(g(g(g(g(g(y))))))。或 g 与自身组合 6 次。然后我们为 z+1 传入 g，然后将 0 插入到最终表达式中，我们最终得到 6。

>>>(((lambda f: lambda x: f(f(f(x))))(lambda g: lambda y: g(g(y))))(lambda z: z+1))(0)
8

问题是，当我使用 python 的内置 lambda 演算工具验证这个答案时，我得到 8 作为答案。

很明显，我的评估是错误的。我正在考虑将 2 g 组合乘以 3 f 组合以获得 6。但显然我应该将其视为 2^3 组合，但我不明白为什么。

解决方法

你的直觉让你有些失望。尝试以“直观”的方式组合这两个表达式是很诱人的，但这样做过于简单化了问题。让我们来看看前几个步骤。

这是您的 lambda 表达式，为了便于阅读，删除了一些无关的括号

(λf.λx.f(f(fx))) (λg.λy.g(gy)) (λz.z+1) 0

现在，您的直觉告诉您，我们通过让 f 成为 λy.g(gy) 来“组合”前两个函数。但事实并非如此。看，我们不会让 f 成为 λy.g(gy)；我们让 f 成为 λg.λy.g(gy)（此时 g 仍然是一个参数）。所以第一个简化适用于

(λx.(λg.λy.g(gy))((λg.λy.g(gy))((λg.λy.g(gy))x))) (λz.z+1) 0

这是一个令人困惑的混乱，但重点是重复的位仍然有 g 参数。然后我们为 λz.z+1 插入 x，这无疑相当简单

(λg.λy.g(gy)) ((λg.λy.g(gy))((λg.λy.g(gy))(λz.z+1))) 0

好的。现在在最里面的 redex 中，我们将让 g 为 (λz.z+1)。所以，忽略这个过程的几个步骤，我们将在 y 上得到一个函数，它说“向这个东西添加两次”。即

(λg.λy.g(gy)) ((λg.λy.g(gy))(λy.y+2)) 0

好的，现在让我们再做一次。 redex 的左侧和以前一样，所以我们将在右侧做两次。右边的东西是“给这个数字加一”，所以我们得到

(λg.λy.g(gy)) (λy.y+4) 0

最后，做最后一次。我们将 4 与一个数字相加两次。

(λy.y+8) 0

对于大奖，零加八是...

8

,

像 Silvio 一样循序渐进地完成它绝对是一个很好的练习，但更简单：

你把f->f^3应用到g->g^2上，不就是g->(((g^2)^2)^2) = g^8吗？ 所以 (+1)^8 (0) = 8