快速椭球交点算法

如何解决快速椭球交点算法

| 假设我有100万个任意形状，任意方向的N维椭球体，它们随机散布在N维空间中。给定一个椭球的子集，我想“迅速”确定第一集合中的椭球相交的所有椭球的集合。 为此必须有一个算法。它是什么？什么是“ O”复杂度？     

解决方法

        如果允许N维数据，则O复杂度会遭受维数的诅咒。 （有关更多信息，请参见此Wikipedia文章）。我建议借鉴物理模拟，并将此问题分为“广泛阶段”和狭窄阶段： 宽相保守地发现了潜在的重叠椭圆对的大幅减少。 窄相位将一组可能重叠的椭圆对修整为实际上确实重叠的那对。 狭窄阶段是测试任意椭圆之间的相交的直接计算几何问题。对于广泛的阶段，您将需要使用空间结构，例如空间哈希，空间树（R树，Kd树，X树，UB树等）或即席结构给定您正在加载的数据的某些特殊属性（例如不平衡的树或哈希）。 当前流行的方法是Kd树。 Kd-tree有很多文档和已经编码的版本，可以轻松配置，因此，我建议您在线查看。 （Google是您的朋友）。使用大多数树结构的优点是，如果要查找的交集相对紧凑，则可以只在树中搜索一次并找到交点，而不必执行多棵树遍历。这将有助于缓存（从主内存或磁盘）访问模式。相同的算法可以处理不同的成员查询。但是，您正在做的工作可能会从紧凑的查询集属性中受益匪浅。 Kd树无法解决所有椭球的问题-例如，如果您的椭球尺寸为N，其主轴的轴是从（0，0，0，0，...）到（1，1 ，1、1，...），但次级轴较小或无关紧要（并且此后相交不多），仍然需要成为一个在所有N个维度上都覆盖[0,1]的节点。如果您的椭球落在[0,1] ^ n中，那么每个椭球都将测试与上述不方便的椭球的相交。但是，对于真实世界的数据（甚至大多数情况下，如果不是真的很难使Kd-tree变得缓慢，那么大多数情况下都是合成的），Kd-tree方法应该是一个胜利。 如果您希望Kd树在成千上万的椭球体上取得成功，那么使用强力搜索可能会更好。 （上述维度的诅咒。）但是... 如果您有一个优化的实现，一百万个条目并不算太坏，但是如果您要执行很多查询（数百万个），它将很慢（大约10秒或更糟） ）。但是，我已经看到了一些令人惊奇的数字，它们来自经过优化的矢量化代码。 （即使使用这种策略来运送某些产品也是如此。）如果具有正确的缓存一致性，则暴力破解最多只需要毫秒。这意味着C / C ++中的ASM或矢量内在函数-不确定您使用的是哪种语言。 对于大多数数据，O的复杂度（不考虑维数的诅咒）应大约为查询的O（m log n）（一旦树被构建），其中m是查询集中的椭圆数，n是椭圆数在数据集中。构建数据本身不应该比O（n log n）差。用exp（d）乘以d，其中d是维-这就是这种事情的处理方式。