在对数组应用给定操作后最大化数组的总和

如何解决在对数组应用给定操作后最大化数组的总和

给定一个由 N 个元素和一个整数 K 组成的数组 A，您可以对数组进行任意次数的以下操作（可以为 0）。

从数组 A 中选择一个元素，记为 A[i]
选择一个正整数 Y。
将 A[i] 更改为 A[i] xor Y。

操作中使用的所有 Y 的总和不应大于 K。

你的任务是求出数组A所有元素运算后的最大和。

示例：-

N=5
K=6
A={9,7,4,3}

输出：- 36

说明：- 在第一个操作中，选择第四个元素，Y=2。然后将 4 改为 4 xor 2，即 6。更新后的数组将是：- 9,6,3

在第二个操作中，选择第五个元素，Y=4。然后将3改为3 xor 4，即7。更新后的数组将是 9,7 因此总和是 36。

请有人解释问题背后的逻辑。我不明白。

解决方法

由于您没有澄清我对 Y 的评论，我假设答案是否定的，您不能将唯一的 Y 值计入预算 K。

这个问题只是变相修改后的 0-1 knapsack problem。使用背包问题解决它：

让物品价值和重量对定义为集合

I = { (Y ^ a - a,Y) : a \in A,Y \in {1,K}}

将动态规划解决方案应用于重量限制为 K 的 0-1 背包问题，并且要求每个 a \in A 只能拣选一件物品。背包问题的总最优重量 + 任何未修改的 a \in A 就是解。

这是解决给定示例的 Python 实现。

#!/usr/bin/python

def solve2(w,v,W,nK):
    n = len(w)
    m = dict()

    for j in range(0,W+1):
        m[-1,j] = 0
    for i in range(-1,n):
        m[i,0] = 0

    for i in range(0,n):
        for j in range(0,W+1):
            b_w = -1
            b_v = -1
            found = False
            for k in range(0,nK):
                if w[i][k] <= j and v[i][k] >= b_v:
                    b_w = w[i][k]
                    b_v = v[i][k]
                    found = True
            if found:
                m[i,j] = max(m[i-1,j],m[i-1,j-b_w] + b_v)
            else:
                m[i,j] = m[i-1,j]
    return m[n-1,W]


A = [9,7,4,3]
K = 6
v = [ [ (Y^a)-a for Y in range(1,K+1) ] for a in A]
w = [ [ Y for Y in range(1,K+1) ] for a in A]
print ('Solution value is:',sum(A) + solve2(w,K,K))