使用 NUFFT 时如何校正傅立叶侧的缩放？

如何解决使用 NUFFT 时如何校正傅立叶侧的缩放？

最近，我在 Mathworks 支持上发布了一个关于如何使用 nufft 函数反转非均匀傅立叶变换的问题。 该问题的链接在这里：https://ch.mathworks.com/matlabcentral/answers/829233-how-do-i-invert-a-non-uniform-fft-using-the-nufft-function?s_tid=prof_contriblnk

由于 Z 变换和 nufft 之间的关系（在非统一 DFT 的维基百科页面上），我还尝试构建 Z 变换矩阵。这是 Z 变换矩阵的代码，但我认为它应该是正确的，因为它与 nufft 对齐。

function[D] = buildZMatrix(x,freq)
% buildZMatrix(x,freq) :   this function builds the matrix for the non 
%                           uniform fft.
% INPUT:
% x:        The points in space.
% freq:     The query points in the fourier side.
%
% OUTPUT:   
% D:        The matrix of possible z points.

[X,Y] = meshgrid(x,freq);
fun =@(x,y) exp(-1i * 2 * pi * x .* y);
D = fun(X,Y)';
end

我事先尝试过，但我遇到的一个问题是，有时这个矩阵会太接近奇异矩阵，这在求逆时给我带来了问题。我怀疑在我尝试过的某些分布中，某些点会彼此过于接近。尽管如此，我写了一个例子，表明矩阵计算与 nufft 相同。不幸的是，两者似乎都错了......确实，高斯变换应该是高斯形的，并且图中的结果看起来不是高斯形的。在图像 nufft_comparison_plots 中，我不明白为什么高斯曲线似乎是平移的。由于点的不同分布，这是正常的行为吗？

这是获取该图并计算 nufft 的代码： 首先，我使用平方函数来获得非等距映射。

N = 2048;
dim = [-pi pi];

% Map the points
xnodes = linspace(dim(1),dim(2),N);
map1 =@(x) sign(x).* x.^2;
xnodes = map1(xnodes);


% The length of the domain. 
L = xnodes(end) - xnodes(1);

然后我在相同数量的点 N 上固定了一个频谱，并固定了一个由 fft 函数驱动的缩放因子，它似乎足以用于等距点（我在我链接的问题中提到了它）。

%% frequencies
% Fix a spectrum
k = linspace(-8,8,N);

%% Attempt of scaling factor for the Fourier transform
% scaling factor for equispaced
J = k(end) - k(1);
J3 = k(end-1) - k(1);
fac =  (L * J)/(N*J3);
%% Build Z matrix
D = buildZMatrix(xnodes,k);

然后我计算了要绘制的各种元素，我编写了我选择的高斯傅立叶变换的解析形式。

%% Create the function vectors
% Sine function
Us = sin(xnodes);

% cosine
Uc = cos(xnodes);

% Guassian
gauss =@(x) exp(-x.^2);
Ug = gauss(xnodes);

% The analytical expression for the Fourier transform.
tr_gauss =@(x) sqrt(pi) * exp(-(pi * x).^2);

%% Compute the Fourier transforms 
% Sine
Us_nufft =   fac * nufft(Us,xnodes,k);

% Cosine
Uc_nufft = fac * nufft(Uc,k);
Uc_D = abs(fac * complex(Uc) * D);

% Gaussian
Ug_nufft =  fac * nufft(Ug,k);
Ug_D = abs(fac * complex(Ug) * D);

% Analytical fourier transform of Gaussian
fftg = tr_gauss(k);

这最后一部分只是为了获得情节。

%% Plot on the fourier side
fig5 = figure('units','normalized','Outerposition',[0.15 0.05 0.7 0.9]);
subplot(3,1,1)
ax4 = gca;
plot(k,abs(Us_nufft))
subplot(3,2)
ax5 = gca;
plot(k,abs(Uc_nufft))
hold on;
plot(k,Uc_D)
subplot(3,3)
ax6 = gca;
plot(k,abs(Ug_nufft))
hold on;
plot(k,fftg)
hold on;
plot(k,Ug_D)

% Info about the plot
ax4.YLabel.String = '"fft(sin)"';
ax5.YLabel.String = '"fft(cos)"';
ax6.YLabel.String = '"fft(gaussian)"';
ax4.XLabel.String = ['k'];
ax5.XLabel.String = ['k'];
ax6.XLabel.String = ['k'];
sgtitle(['abs of the nufft of different functions on a modified space grid of ' num2str(N) ' points']);
legend(ax6,'nufft','analytical','matrix','location','northEast');
legend(ax5,'northEast');

非常感谢有关如何纠正这些缩放问题的任何建议！ 感谢您的时间！