递归算法时间复杂度最大独立集

我有一个任务来分析和实现一个算法来找到一个图的最大独立集，我已经谈到了该算法的时间复杂度部分。我推断如下：

T(n) = T(n-1) + T(n-3) + O(n^3) + O(n^2)

我之前已经想出了一些其他类似的递归算法，但我在这个算法上遇到了好几次。我认为结果应该是 ~O(2^n)。

有人可以帮我找到解决方案吗？

编辑：我只是仔细检查了一下，解决方案应该是 O(1.8^n)。有什么办法可以解决这个问题吗？

因为 O(n³) + O(n²) = O(n³) = O(f(n)) 其中 f(n) = n³ − 12n² + 30n − 28，存在一些常数 γ > 0 使得我们可以高估原始递归 T 作为具体的线性非齐次递归 T'：

T'(n) = T'(n−1) + T'(n−3) + γf(n).

我们遵循通常的剧本，首先关注同质部分（相同的循环但没有 γn³）。特征多项式是 x³ - x² − 1. 令 α 为该多项式的任意零，函数 αⁿ 满足

αⁿ = αⁿ⁻¹ + αⁿ⁻³,

假设基本情况值为正，同质部分将是 Θ(αⁿ) 其中 α = 1.46557... 是零最大参数。

我们还必须处理非同质部分，但事实证明并非如此渐近地重要。根据设计，我们有 f(n) = (n−1)³ + (n−3)³ − n³，所以让 U(n) = βαⁿ − γn³，我们可以验证

U(n−1) + U(n−3) + γn³ = β(αⁿ⁻¹ + αⁿ⁻³) − γ((n−1)³ + (n−3)³ − f(n)) = βαⁿ − γn³ = U(n)

是 T′ 的解，使我们保持在同一个渐近类中。

如果我们绘制递归树，它将看起来像这样，为简单起见，让每个节点有 2 个子节点，这棵树的高度为 n 直到它达到了基本情况。由于它是一棵二叉树，因此节点数将为 (2^n)-1。所以T(n) = T(n-1) + T(n-3)的复杂度是O(2^n)。

现在整体复杂度是O(2^N) + O(n^3) + O(n^2) = O(2^N)