如何解决为什么 fsolve 给出初始条件作为解？

from scipy.optimize import fsolve

def f_sum(beta,gamma,x):
    f = (
        3 * x ** (3 * (1 - gamma)) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1 - gamma))
        + x ** (4 * (1 - gamma)) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1 - gamma)) ** 2
        - 3 * x ** (3) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1))
        - x ** (4 * (1)) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1)) ** 2
    )
    return f


def equilibrium(p,beta,x):
    if x > 1:
        return 1000
    elif x < -1:
        return -1000
    else:
        g = (
            x * (1 - x ** 2) * (1 - p) / 2
            + f_sum(beta,(x + 1) / 2)
            - f_sum(beta,(1 - x) / 2)
        )
    return g


print(fsolve(lambda x: equilibrium(1.0,0.1,0.3775,x),0.6))

我使用 fsolve 来找到严格介于 -1 和 1 之间的函数的根。x 介于 -1 和 1 之间。而 gamma 介于 0 和 0.5 之间。测试版为正。

我知道该函数有 3 个根 -1、0 和 1。我只是尝试看看是否有更多的特定参数组合。

但是，对于具体的参数，解与初始条件是一样的。我试图绘制函数，但没有这样的固定点，所以这显然是错误的。

我还收到以下错误：“RuntimeWarning：迭代没有取得良好进展，由从最近十次迭代的改进。 warnings.warn(msg,RuntimeWarning)"

有什么问题吗？我还尝试更改所选参数的初始条件（在打印函数中），但高于 initial=0.6 时，它一直给出初始值。

解决方法

考虑到你的 equilibrium 函数的复杂性及其有限的域 x∈[-1,1]，最好使用 least_squares，例如

import numpy as np
from scipy.optimize import least_squares

def f_sum(x,beta,gamma):
    f = (
        3 * x ** (3 * (1 - gamma)) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1 - gamma))
        + x ** (4 * (1 - gamma)) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1 - gamma)) ** 2
        - 3 * x ** (3) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1))
        - x ** (4 * (1)) / (np.exp(1 / beta) - x ** (1)) ** 2
    )
    return f


def equilibrium(x,p,gamma):
    g = (
        x * (1 - x ** 2) * (1 - p) / 2
        + f_sum((x + 1) / 2,gamma)
        - f_sum((1 - x) / 2,gamma)
    )
    return g

现在我们可以在定义的域 (bounds) 中找到根

roots = least_squares(
    equilibrium,x0=(-1,-.5,.5,1),args=(2.5,4.4,0.06),bounds=(-1,1)
)

给予

print(roots)

 active_mask: array([-1,1])
        cost: 4.1713539926658053e-22
         fun: array([-1.99740779e-11,-4.23644453e-12,0.00000000e+00,4.28902747e-12,1.99740779e-11])
        grad: array([ 1.27723833e-10,-1.00057191e-12,1.01299110e-12,-1.27723833e-10])
         jac: array([[-6.39447955,-0.,0.,-0.        ],[ 0.,0.23618199,-0.12019887,0.236182,-6.39447955]])
     message: '`gtol` termination condition is satisfied.'
        nfev: 6
        njev: 6
  optimality: 1.358478265237574e-12
      status: 1
     success: True
           x: array([-1.,-0.34105647,0.34105647,1.        ])

根在哪里

print(roots.x)

[-1.         -0.34105647  0.          0.34105647  1.        ]

我们可以验证

import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-1,1,1000)
y = equilibrium(x,2.5,0.06)

plt.plot(x,y)
plt.axhline(0,color='r',lw=1)
plt.vlines(roots.x,*plt.ylim(),color='k',ls='--')

固定根

即使您的函数 equilibrium 非常复杂，也相对容易证明（无需任何计算和/或估计）在域 x∈[-1,1] 中存在三个根 x={- 1,1} 独立于 beta 和 gamma。

其实我们可以写函数对相似词进行分组

这里，对于 p≠1，f(x)=0 的必要条件是 A=0 简单地导致

所以我们现在可以很容易地证明这些条件是唯一的根 f(x)=0 并且独立于 beta 和 gamma

所以，三个固定根为 x={-1,1}，其中 f(x)=0 ∀β,γ