如何确定直线方程，给定平面和方向

如何解决如何确定直线方程，给定平面和方向

直线 L 位于平面上：x + y + z + 1 = 0，对于某个值，直线方向为 (a,1,0) a∈ℝ：

我不知道如何回答这个问题，非常感谢您的帮助：

1. 我们可以根据上面给定的细节确定直线方程吗？存在多少条可能的线路？
2. 如果直线也经过点 (1,-1,-1)，我们能确定直线方程吗？有多少行？

解决方法

如果点(x0,y0,z0)属于这个平面，那么点(x0 + a,y0 + 1,z0)也应该属于这个平面，所以

x0 + a + y0 + 1 + z0 = 1
(x0 + y0 + z0) + a + 1 = 1
1 + a + 1 = 1
a = -1 

另一种方式 - 属于平面的线必须垂直于平面法线，因此法线和方向向量的点积必须为零：

1 * a + 1 * 1 + 1 * 0  = 0
a = -1

我们只知道方向向量，给定平面上有无数条平行线。

如果我们固定一个点，我们可以得到唯一的线

base =  (1,−1,−1)
dir  =  (-1,1,0)
L = (1,−1) + t * (-1,0) 

这是直线的参数方程