为受限范围分区问题设计优化算法

如何解决为受限范围分区问题设计优化算法

首先，我将“分区问题”称为是否可以将某个多组正整数 S 划分为两个等值子集的决策问题。众所周知，虽然这个问题是NP-Complete，但可以通过动态规划在伪线性O(nm)时间内解决，其中n是S中整数的个数，{{ 1}} 是这些整数总和的一半（即每个多重集的目标总和）。以下是 JS 中这种方法的示例：https://pastebin.com/GETrGwqh。

然而，由于 m 倾向于随 n 线性增加（更准确地说，与 S 的平均值呈线性关系），这种 O(nm) 方法对于大 n 仍然效率很低。然而在我看来，可以为分区问题的范围受限实例设计更有效的算法，其中 m 中最大可能整数的值 S 是预先知道的，并且 { {1}} 很小。为了讨论一些例子，让我们将 k 表示为 k，其中每个 S 代表 S 中 [n_1,n_2,...n_k] 的数量（例如 [3,1,2]表示 mset {1,3,4,4})。下面，我们看到 k=1 和 k=2 的情况非常简单：

n_i

（任何偶数个1都可以均匀划分，任何奇数都不能）

i

（如果 n_1 是奇数，则和是奇数，所以返回 false。如果 n_1 和 n_2 都是偶数，则存在一个平凡分区，但如果 n_2 是奇数且 n_1 >= 2，则可以使用一对1 来抵消奇数 2。否则，没有可能的分区）

当我们扩展到 k=3 的情况时，使用类似的基于奇偶校验的方法，有 2^3=8 种可能的情况，其中 4 种情况非常错误，因为它们产生奇数和（情况是 n_1 和 n_3不共享相同的奇偶校验），其中之一（所有偶数 [e,e,e]）是微不足道的（只需取每个 n_i 的一半进行分区）。但是，我正在努力为 [e,o,e]、[o,o] 和 [o,o] 实例推导出规则，这些实例可能是可分区的，因为它们产生偶数和，但不是必然如此。

所以总结一下我的问题，我想知道是否有一些额外的条件检查可以应用于在恒定（或者可能是 O(2^k)）时间内解决 k=3 的情况，以及是否类似可以为 k=4,5,6... 推导出恒定时间的算法，因为即使要检查的逻辑复杂度/条件数量在 k 中呈指数增长，专门为范围受限分区实例推导出的算法仍然可能优于对于相对于 k 非常大的 n 和 m，普遍适用的 O(nm) DP 解决方案。

从更直接的数学角度来看，上述过程在复杂性上等同于在以下受约束的丢番图方程中确定满足 m_1,...m_k 的存在，其中左侧代表所有方程的总和的一半集合中的整数，右侧的 m_i 系数（待求解）代表每个整数的数量的分区：

（我不知道我将如何解决，但我想我会把它扔在那里，以防它激发某人的想象力）。