如何为 SymPy 自定义函数指定导数？

如何解决如何为 SymPy 自定义函数指定导数？

我正在使用 sympy 帮助自动化使用欧拉拉格朗日方法为某些系统查找运动方程的过程。如果我可以定义一个函数 q 并指定它的时间导数 qd --> d/dt(q) = qd，那么真正使这变得容易的是什么。同样，我想指定 d/dt(qd) = qdd。这很有用，因为作为寻找运动方程的过程的一部分，我需要对作为 q 和 qd 函数的表达式求导（关于时间、q 和 qd）。最后，我将得到一个关于 q、qd 和 qdd 的方程，我希望能够整齐地打印它或使用 lambdify 将其转换为一个整洁的 numpy 函数以用于模拟。

目前我已经通过将 q 定义为函数并将 qd 定义为该函数的导数来实现这是一种非常迂回和烦人的方式：

q = sympy.Function('q',real=True)(t)
q_diff = diff(q,t)

这对于大部分过程来说都很好，但是我最终得到了一个充满“Derivative (q,t)”和“Derivative (Derivative(q,t),t)”的凌乱表达，这很难解释一种简洁的打印格式，很难使用 lamdify 转换为 numpy 函数。因此，我当前的解决方案是使用 subs 函数并分别用符号 qd 和 qdd 替换 q_diff 和 diff(q_diff,t) ，这样可以清理事情并使操作表达式更容易。不过，这似乎是一个糟糕的 hack，并且需要花费大量时间来处理具有大量状态变量的更复杂的方程。

我想要的是定义一个函数 q，它具有时间导数的特定值。我会在创建函数时传入该值，并且 sympy 可以将其视为通用 Function 对象，但会使用我为它提供的任何时间导数，而不仅仅是说“Derivative(q,t)”。我想要这样的东西：

qdd = sympy.symbols('qdd')
qd = my_func(name='qd',time_deriv=qdd)
q = my_func(name='q',time_deriv=qd)

diff(q,t)
>>> qd
diff(q**2,t)
>>> 2*q*qd
diff(diff(q**2,t))
>>> 2*q*qdd + 2*qd**2
expr = q*qd**2
expr.subs(q,5)
>>> 5*qd**2

这样的事情，我仍然可以使用 subs 命令和lambdify 命令来替换 q 和 qd 的数值，这将非常有帮助。我一直在尝试这样做，但我对基本 sympy.Function 类的工作原理不够了解。这就是我现在所拥有的：

class func(sp.Function):
    def __init__(self,name,deriv):
        self.deriv = deriv
        self.name = name

    def diff(self,*args,**kwargs):
        return self.deriv

    def fdiff(self,argindex=1):
        assert argindex == 1
        return self.deriv

到目前为止这段代码并没有真正起作用，我不知道如何具体指定 q 的时间导数是 qd。现在所有 q 的导数都返回 q？

我不知道这是否只是一个非常糟糕的解决方案，我是否应该完全避免这个问题，或者是否已经有一种干净的方法来解决这个问题。任何建议将不胜感激。