如何解决是否可以在 Ocaml 中实现罗素悖论?
我最近在朴素集合论中了解了罗素悖论,当考虑所有不是其成员的集合时,该集合似乎是自身的成员,如果它不是自身的成员,则创建了悖论。 我想知道询问集合是否是自身成员的函数是否可以用 Ocaml 之类的函数式语言实现,因为罗素悖论本身没有明确的答案,如果是,想知道如何解决这个问题的任何提示问题。此外,我有兴趣了解这些数学悖论中的任何一个是否可以普遍实现。
解决方法
我既不是逻辑学家,也不是类型论或集合论者。但是,如果您打开 -rectypes
,您可以编写一个函数来测试列表是否是其自身的成员:
$ ocaml -rectypes
OCaml version 4.10.0
let f x = List.mem x x;;
val f : ('a list as 'a) -> bool = <fun>
您可以创建一个是自身成员的列表:
# let rec mylist = [mylist];;
val mylist : 'a list as 'a = [<cycle>]
# f mylist;;
- : bool = true
不幸的是,我怀疑这与罗素悖论只有微弱的关系。
更新
假设您将一个集合定义为一个函数,该函数对于集合中的元素返回 true,对于不在集合中的元素返回 false。然后你可以在相当合理的程度上创造罗素悖论。
空集是一个总是返回false的集:
$ rlwrap ocaml -rectypes
OCaml version 4.10.0
# let empty x = false;;
val empty : 'a -> bool = <fun>
这是一个包含自身的单例集:
# let rec just_self x = x == just_self;;
val just_self : 'a -> bool as 'a = <fun>
您可以尝试对这些值进行各种测试并得到合理的答案:
# empty empty;;
- : bool = false
空集不包含任何东西,包括它自己。
# just_self empty;;
- : bool = false
集合 just_self
只包含自身,不包含空集合。
# just_self just_self;;
- : bool = true
那么罗素集合就是包含不包含自身的集合的集合:
# let russell s = not (s s);;
val russell : ('a -> bool as 'a) -> bool = <fun>
罗素集包含空集(因为它不包含自身):
# russell empty;;
- : bool = true
Russell 集合不包含 just_self
,因为该集合包含自身:
# russell just_self;;
- : bool = false
现在是大回报。罗素集是否包含自身?
# russell russell;;
Stack overflow during evaluation (looping recursion?).
这是您应该期待的。即,计算发散。 (也是这个网站非常合适的结果。)
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