如何优化 SymPy 积分的数值评估？

如何解决如何优化 SymPy 积分的数值评估？

我是 SymPy 的新手，希望有人能指出优化我的代码的方法。

我需要对小数位非常高（150-300）的有点复杂的表达式进行数值计算，并且每个参数集需要 30 秒或更长时间 - 鉴于要计算的参数空间，这很长。

我已将 lambdify 与 mpmath 后端和 meijerg=True 一起用于整体处理，它显着降低了运行时间。有没有其他方法可以使用？理想情况下，将评估时间推到 1 秒以下会很棒。我的代码是：

import mpmath
from mpmath import mpf,mp
mp.dps = 150 # ideally would like to have this set to 300 
import numpy as np
from sympy import besselj,symbols,hankel2,legendre,sin,cos,tan,summation,I
from sympy import  lambdify,expand,Integral
import time
x,alpha,k,m,n,r1,R,theta = symbols('x alpha k m n r1 R theta')

r1 = (R*cos(alpha))/cos(theta) #

Imn_part1 = (n*hankel2(n-1,k*r1)-(n+1)*hankel2(n+1,k*r1))*legendre(n,cos(theta))*cos(theta)
Imn_part2 = n*(n+1)*hankel2(n,k*r1)*(legendre(n-1,cos(theta)-legendre(n+1,cos(theta))))/k*r1
Imn_parts = expand(Imn_part1+Imn_part2)
Imn_expr = expand(Imn_parts*legendre(m,cos(theta))*(r1**2/R**2)*tan(theta))
Imn = Integral(Imn_expr,(theta,alpha)).doit(meijerg=True)

# the lambdified expression
Imn_lambdify = lambdify([m,alpha],Imn,'mpmath')

向函数提供数字输入时 - 需要很长时间（30 到 40 秒）。

substitute_dict = {'alpha':mpf(np.radians(10)),'k':5,'R':mpf(0.1),'m':20,'n':10}

print('starting calculation...')
start = time.time()
output = Imn_lambdify(substitute_dict['m'],substitute_dict['n'],substitute_dict['k'],substitute_dict['R'],substitute_dict['alpha'])
print(time.time()-start)

使用的操作系统/软件包版本：

Linux Mint 19.2
Python 3.8.5
SymPy 1.7.1
MPMath 1.2.1

解决方法

设置 meijerg=True 只是导致 SymPy 在评估积分时不那么努力。它仍然无法评估它，但它已将其拆分为 5 个子积分，您可以通过打印 Imn 来查看这些子积分。您不妨将其作为一个整体保留（去掉 doit()）：

Imn = Integral(Imn_expr,(theta,alpha))

对我来说，分裂积分的计算速度要快一些，但这也是差不多的速度

Imn = Integral(simplify(Imn_expr),alpha))

最终，使事情变慢的是您使用的位数。如果您实际上不需要这么多数字，则不应使用它们。注意 mpmath 会在内部自动增加精度以避免取消，所以没有必要自己这样做。我得到相同的值（数字更少），默认 dps 为 15 和 150。

您可以尝试将您的值直接替换到您的表达式中，如果它们没有改变，并查看 SymPy 是否可以使用它们进一步简化 Imn_expr。

顺便说一句，您使用的是 np.radians(10)，它是机器浮动的，因为这是 NumPy 使用的。这完全违背了将最终答案计算为 150 位数的目的，因为此输入参数只能精确到 15。请考虑使用 mpmath.pi/18 来获取与您指定的位数正确的值。