用几何级数限制求和

我正在阅读 Introduction to Algorithms 书的数学/附录部分，并遇到了几何级数边界的证明：

我不太明白的是：

我知道这里有很多问题，如果您能回答一个问题，那将意义重大，因为这至少使我走上了正确的道路。甚至对仅引用可以帮助解决问题的在线文章或视频的回答也非常感谢。

谢谢:D

01。 r 的边界是使用这种几何级数递减的边界方法的先决条件。换句话说，如果存在介于 0 和 1 之间的常数 r，使得连续项之间的比率小于常数 r，则您只能使用递减的几何级数（使用此方法）进行绑定。
序列中连续项的比率在 0 和 1 之间的条件确实意味着序列在减少。
对每一项进行界定是对系列界定的一种方式。如果每一项都小于另一个系列的对应项，那么前者的总和将小于后者的总和。这就是这里发生的事情：第一个不等式声称左侧系列的总和受右侧系列的总和的限制，因为左侧的每个项（最多 n）小于或等于每个对应项在右侧（在 n 之后，添加正值保留不等式）。
这是因为假设 a_k 的连续项的比率总是小于或等于 r。直接从这个假设得出，对于每个 k，a_(k+1)

您将获得以下信息。

假设 a_(k+1)/a_k <= r where 0 < r < 1

必须在某处声明一个额外的假设，即所有项都是非负的a_k >= 0，否则结论不成立。然后……

如果 a_(k+1)/ak <= r 并且如果 a2=2 和 a3=3 那么 ...

满足给定条件的序列不能以a2=2和a3=3开头。

这不会发生，因为 k=2 的问题陈述是 a3/a2 <= r < 1，而您的值给出 a3/a2 = 3/2 > 1。

如果 Q1 的答案是它只适用于一个递减的算术级数，那么求和符号如何暗示？

它没有。求和符号不表示关于系列项的任何内容。但是问题的陈述假定 a_(k+1)/a_k <= r < 1 对于非负数意味着 a_(k+1) < a_k，因此项的序列严格递减。

限制每一项和限制系列的总和有什么区别？

前者通过简单地添加不等式来暗示后者。例如，如果您知道 a1 <= b1 和 a2 <= b2，那么您可以推导出 a1+a2 <= b1+b2。

a_k

a_k <= r a_(k-1) 和 a_(k-1) <= r a_(k-2)，所以 a_k <= r a_(k-1) <= r^2 a_(k-2)。重复得到a_k <= r^3 a(k-3) <= r^4 a_(k-4) <= ... <= r^k a_0。