帕累托边界集合：算法的顺序

如何解决帕累托边界集合：算法的顺序

我必须进行一项挑战，该挑战涉及详细阐述计算帕累托（集合）边界的算法。声明基本上是：

给定正方形[0,1] x [0,1]中n个点的集合S，做一个算法来确定S中包含的子集P，由S的非支配点组成。

也有人说，可以很容易地详细说明实现此目的的n*n 点比较顺序的算法。好吧，我通过在这里和那里的研究提出了一个算法。挑战仍然是实现 n*log(n) 阶的算法。我如何获得这些算法的顺序？

提前致谢！

#data
set.seed(103)
x = runif(200)
y = runif(200)

#algorithm
pareto = 1:length(x)
for(i in 1:length(x)){
    cond1 = y[i]!=min(y[which(x==x[i])])
    cond2 = x[i]!=min(x[which(y==y[i])])
    for(k in 1:length(x)){
        if((x[i]>x[k]  &  y[i]>y[k]) | (x[i]==x[k] & cond1) | (y[i]==y[k] & cond2)){
            pareto[i] = NA
            break
        }
    }
}
xPareto = x[pareto[!is.na(pareto)]]
yPareto = y[pareto[!is.na(pareto)]]

#graphic:
plot(x,y)
points(xPareto,yPareto,col=2,pch=16)
dat = data.frame(x=xPareto,y=yPareto)
dat = dat[order(dat$x),]
for(i in 1:(nrow(dat)-1)){
    segments(dat$x[i],dat$y[i],dat$x[i+1],dat$y[i+1],lty=2)
}

解决方法

这个问题的有效贪婪解决方案背后的直觉在于，点i被点j iff x[i] > x[j] and {{ 1}}，这意味着当点按任一坐标排序时，y[i] > y[j] 必须在 j 之前。因此，如果我们按照 x 坐标的递增顺序遍历这些点，那么支配点 i 的点 j（如果有）必须在点{之前被遍历{1}} 被遍历。换句话说，在这个排序中，支配点 i 不可能出现在支配点 i 之后。

因此，通过这种遍历顺序，支配问题（即检查一个点是否被其他点支配）归结为检查我们是否已经看到了一个具有较低 y 坐标的点，因为遍历顺序已经强制执行了 x - 坐标条件。这可以通过检查每个点的 y 坐标到我们迄今为止看到的最低（最小）y 坐标来轻松完成——如果最小 y 坐标小于当前点 j 的 y 坐标那么具有最小 y 坐标的点 i 作为 i 支配 j，因为 i 在 x[j] < x[i] 之前被看到。

按 x 坐标排序需要 j 时间，检查每个点（同时保持部分最小 y 坐标）需要 i 时间，使得整个算法需要 O(n log n) 时间。

O(n)