如何解决最佳行/列配对算法 输出来自较小的数据运行：
我在尝试将图像与其相关系数匹配时遇到问题。
假设我们有 5 个缩略图（a、b、c、d、e），我们需要在另一组缩略图（f、g、h、i、j）上为每个缩略图找到最佳对应缩略图。 （一件物品不能重复使用。）
对于每个可能的对，我们计算相关系数（相似性的度量）。
f g h i j
|-----|-----|-----|-----|-----|
a | 0.5 | 0.7 | 0 | 0 | 0 |
|-----|-----|-----|-----|-----|
b | 0.7 | 0.8 | 0 | 0 | 0 |
|-----|-----|-----|-----|-----|
c | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.8 |
|-----|-----|-----|-----|-----|
d | 0 | 0 | 0.5 | 0.6 | 0.7 |
|-----|-----|-----|-----|-----|
e | 0 | 0.6 | 0.7 | 0.5 | 0 |
|-----|-----|-----|-----|-----|
我做什么：
-
找出每个原始数据的最大值
f g h i j |-----|-----|-----|-----|-----| a | 0 | 0.7 | 0 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| b | 0 | 0.8 | 0 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| c | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.8 | |-----|-----|-----|-----|-----| d | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.7 | |-----|-----|-----|-----|-----| e | 0 | 0 | 0.7 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| -
找出每一列的最大值
f g h i j |-----|-----|-----|-----|-----| a | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| b | 0 | 0.8 | 0 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| c | 0 | 0 | 0 | 0 | 0.8 | |-----|-----|-----|-----|-----| d | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| e | 0 | 0 | 0.7 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| -
将这些对保存在表格中
-
f g h i j |-----|-----|-----|-----|-----| a | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| b | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| c | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| d | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| e | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| -
将掩码与第一个表相乘
f g h i j |-----|-----|-----|-----|-----| a | 0.5 | 0 | 0 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| b | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| c | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| d | 0 | 0 | 0 | 0.6 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| e | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |-----|-----|-----|-----|-----| -
重复这个过程，直到第二步得到的矩阵为零
所以最后，匹配表看起来像这样：
f g h i j
|-----|-----|-----|-----|-----|
a | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|-----|-----|-----|-----|-----|
b | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
|-----|-----|-----|-----|-----|
c | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
|-----|-----|-----|-----|-----|
d | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
|-----|-----|-----|-----|-----|
e | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 |
|-----|-----|-----|-----|-----|
根据这种方法，可能的最佳配对是： (a,f),(b,g),(c,j),(d,i) 和 (e,h)
现在的问题是： 有没有更好的方法？
像 (a,b) 和 (f,g) 一样，将它们的分数相加以找到最佳匹配不是更好吗？
例如：
(a,f) (b,g)
0.5 + 0.7 = 1.2
(a,g) (b,f)
0.7 + 0.7 = 1.4
1.4 > 1.2 => best pairs are (a,g) and (b,f)
(As opposed to (a,g) with the first method.)
如果是这样，如何使它具有普遍性？
我希望我已经足够清楚，让您理解问题所在。
预先感谢您的帮助。
编辑：
我发现匈牙利算法比 Airsquid 提供的 ILP 解决方案快得多。
我将 Scipy (https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.optimize.linear_sum_assignment.html) 的匈牙利实现与基于 ILP 的解决方案进行了比较。
在对随机 20x20 矩阵进行 1000 次一对一匹配迭代后，我得到了：
从测试中，我没有发现这两种方法之间有任何区别。
解决方法
对于大多数数学求解器来说，这是一个简单的配对模型，可以表述为 ILP。如果你想在 python 中走这条路，你有几个选择（在了解了一些 LP/ILP 公式之后:)）。我偏爱pyomo，但pulp 和or-tools 也是可行的。您还需要一个求解器引擎。有几个免费赠品，有些比其他的更容易安装。我相信 pulp 有一个内置的求解器，这很好。
可能还有一个动态编程解决方案需要考虑，但这既快速又简单。对于我在下面的问题中提到的例子（上面反例的副本和一个随机的 20x20 矩阵），最优解几乎是瞬时的。
# pairing
import pyomo.environ as pyo
import numpy as np
data = [[.99,.98,.97,.96,.95],[.98,.95,0],[.97,[.96,[.95,0]]
#data = np.random.rand(20,20) #alternate random data for testing...
model = pyo.ConcreteModel('r-c pairings')
#re-label the data and push into a dictionary
labels = list('abcdefghijklmnopqrstuvwxyzABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ')
data = {(labels[r],labels[len(data) + c]) : data[r][c]
for r in range(len(data)) for c in range(len(data[0]))}
# pyomo components
model.R = pyo.Set(initialize = [k[0] for k in data.keys()])
model.C = pyo.Set(initialize = [k[1] for k in data.keys()])
model.corr = pyo.Param(model.R,model.C,initialize=data)
model.X = pyo.Var(model.R,within=pyo.Binary) # select pairing (r,c)
# objective: maximize overall value
model.obj = pyo.Objective(expr=pyo.summation(model.corr,model.X),sense=pyo.maximize) #shortcut to ∑cX
# constraint: only use each column value once
def single_use(m,c):
return sum(model.X[r,c] for r in model.R) <= 1
model.C1 = pyo.Constraint(model.C,rule=single_use)
# constraint: only use each row value once
def single_use_row(m,r):
return sum(model.X[r,c] for c in model.C) <= 1
model.C2 = pyo.Constraint(model.R,rule=single_use_row)
# solve it...
solver = pyo.SolverFactory('glpk') # <-- need to have this solver installed
result = solver.solve(model)
print(result)
pyo.display(model)
输出（来自较小的数据运行）：
Problem:
- Name: unknown
Lower bound: 4.75
Upper bound: 4.75
Number of objectives: 1
Number of constraints: 11
Number of variables: 26
Number of nonzeros: 51
Sense: maximize
Solver:
- Status: ok
Termination condition: optimal
Statistics:
Branch and bound:
Number of bounded subproblems: 1
Number of created subproblems: 1
Error rc: 0
Time: 0.010313272476196289
Solution:
- number of solutions: 0
number of solutions displayed: 0
Model r-c pairings
Variables:
X : Size=25,Index=X_index
Key : Lower : Value : Upper : Fixed : Stale : Domain
('a','f') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('a','g') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('a','h') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('a','i') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('a','j') : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary
('b','f') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('b','g') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('b','h') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('b','i') : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary
('b','j') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('c','f') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('c','g') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('c','h') : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary
('c','i') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('c','j') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('d','f') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('d','g') : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary
('d','h') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('d','i') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('d','j') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('e','f') : 0 : 1.0 : 1 : False : False : Binary
('e','g') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('e','h') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('e','i') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
('e','j') : 0 : 0.0 : 1 : False : False : Binary
Objectives:
obj : Size=1,Index=None,Active=True
Key : Active : Value
None : True : 4.75
Constraints:
C1 : Size=5
Key : Lower : Body : Upper
f : None : 1.0 : 1.0
g : None : 1.0 : 1.0
h : None : 1.0 : 1.0
i : None : 1.0 : 1.0
j : None : 1.0 : 1.0
C2 : Size=5
Key : Lower : Body : Upper
a : None : 1.0 : 1.0
b : None : 1.0 : 1.0
c : None : 1.0 : 1.0
d : None : 1.0 : 1.0
e : None : 1.0 : 1.0
我认为您的方法在某些情况下无效。
例如考虑：
f g
|-----|-----|
a | 0.9 | 0.8 |
|-----|-----|
b | 0.8 | 0 |
|-----|-----|
对于这种情况，最佳解决方案是 ag 和 bf，其中总分是“0.8 + 0.8 = 1.6”。如果您首先选择最高分 (af)，您将被迫使用 bg 作为第二对（因为没有其他选择），这样您的总分为“0.9 + 0 = 0.9"，这更糟糕。
请注意，5 对存在相同的问题（并且可能更糟）。例如。极端情况：
f g h i j
|------|------|------|------|------|
a | 0.99 | 0.98 | 0.97 | 0.96 | 0.95 |
|------|------|------|------|------|
b | 0.98 | 0.97 | 0.96 | 0.95 | 0 |
|------|------|------|------|------|
c | 0.97 | 0.96 | 0.95 | 0 | 0 |
|------|------|------|------|------|
d | 0.96 | 0.95 | 0 | 0 | 0 |
|------|------|------|------|------|
e | 0.95 | 0 | 0 | 0 | 0 |
|------|------|------|------|------|
这里，“最大优先”导致af、bg、ch、di、ej，总分2.91；但最好的解决方案是ef、dg、ch、bi、aj，总分4.75。
寻找最佳配对；您想计算每种可能性的总数，然后找到最高的总数。最简单的方法是使用蛮力方法（字面意思是计算每种可能性的总数），但开销相对较高。
假设采用“嵌套循环”方法（例如，您有一个外循环遍历 a 的可能性，一个内循环遍历 b 的可能性，...；以及每个内部循环可以创建一个新的“部分总计”，以便最内层的循环可以使用部分总计而不是自己计算全部总计）；我认为没有一种切实可行的方法来提高性能（同时不会造成无法找到最佳解决方案的风险）。
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