ILP图循环检测 - 编程之家

如何解决ILP图循环检测

我完全被这个（整数）线性规划公式化任务困住了：
输入：包含循环的有向边加权图。
目标：找到一组边，它们的权重之和最小，这样如果从图中删除这些边，图就会变成无环的。

编辑：对于任何感兴趣的人，我发现（在我朋友的帮助下），您可以使用拓扑排序来解决这个问题。你只需要为每条边引入一个约束，这样：
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其中 topologicalOrder[ edge.parent ] << topologicalOrder[ edge.child ] + ( M * edgeInactive[edge]) 是节点拓扑位置的整数数组，topologicalOrder[node] 是布尔数组，表示边缘在结果（非循环）图中是否处于活动状态。 edgeInactive 是用于在 M 时“关闭”约束的 Big M 方法。
然后你只需要最小化非活动边的权重总和。

旧（较慢）解决方案：
我的想法是创建节点的拓扑排序（对于无环图，当拓扑排序时，所有边都将从左到右定向），但是因为我得到了带有循环的图，所以我将寻找这样的拓扑排序，总和从右到左的边数最少。

这种方法有效，但真的很慢...

（我正在尝试用 Gurobi 解决这个问题，但我认为它是非常普遍的线性规划公式问题。）我的代码：

edgeActive[edge] == true

非常感谢您的帮助...

解决方法

这看起来像一个（一般）NP-hard 问题：minimum feedback arc set。至少 this answer 表明了这一点。

您可能会使用此关键字找到更多资源。

我记得当我在 Kemeny–Young method

上做一些 ILP 工作时，我阅读了有关 above 问题的 ILP 公式

在 Google Scholar 上快速查找可以让我们：

Ali、Alnur 和 Marina Meilă。 “凯门尼排名实验：什么时候有效？”数学社会科学 64.1 (2012): 28-40.

说的是：

“上述ILP公式在[10,28]之前已经给出。这个公式也可以解释为求解最小加权反馈弧设置问题来自计算机科学 [10,19]"

我猜你可能会从这篇论文开始 (Link to pdf as referenced by Google Scholar)

我发现（在我朋友的帮助下），你可以使用拓扑排序来解决这个问题。你只需要为每条边引入一个约束，这样：
topologicalOrder[ edge.parent ] << topologicalOrder[ edge.child ] + ( M * edgeInactive[edge])
其中 topologicalOrder[node] 是节点拓扑位置的整数数组，edgeInactive 是布尔数组，表示边缘在结果（非循环）图中是否处于活动状态。 M 是用于在 edgeActive[edge] == true 时“关闭”约束的 Big M 方法。
然后你只需要最小化非活动边的权重总和。