在集合中找到整数符号的组合使得集合总和为 0 的算法

如何解决在集合中找到整数符号的组合使得集合总和为 0 的算法

给定一组 S n 个正整数，我们想知道是否可以找到一个组合S 中每个数字的符号（+ 或 -），使得 S 的和为 0。

如何有效地解决这个问题？基于类似的问题，我想某种动态编程是有序的。有没有关于这个特定问题的文献（我找不到它）。

我想这类似于子集求和问题。但是，现在我们必须使用整个集合，并且对于每个整数 s_i 我们可以包含 -si 或 +s_i，但不能同时使用。

解决方法

这个问题的解决方案涉及子集和问题。

如果有办法求和到数组总和的一半，那么我们可以将所有这些数字设置为负数。其余的数字将为正数。由于这些子集中的每一个总和为总和的一半，因此它们各自的总和将为 0。

C++代码如下：

#include<stdio.h>

int arr[] = {1,2,3,4};
int n = 5; // size of arr
int sum = 0;

// dp array only needs to be [n + 1][total sum + 1] big
bool dp[30][100];
inline void subset_sum(){
    for (int i = 0; i <= sum; i++)
        dp[0][i] = false;

    for (int i = 0; i <= n; i++)
        dp[i][0] = true;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= sum; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            if (arr[i - 1] <= j)
                dp[i][j] |= dp[i - 1][j - arr[i - 1]];
        }
    }
}
int main(){
    for (int i = 0; i < n; i++)
        sum += arr[i];

    // run subset sum dp using a bottom-up approach
    // True = sum is possible,False = not possible
    subset_sum();

    int max_half;
    for (int i = sum / 2; i>=1; i--){
        if (dp[n][i]){ // it is possible to sum to i using values in arr
            max_half = i;
            break;
        }
    }

    // output will be the closest sum of positives
    // and negatives to 0
    printf("%d\n",2 * max_half - sum);

    return 0;
}

此代码的输出将是集合中正数和负数组合的最接近的可能总和为 0。

2 * max_half - sum 可以从 max_half - (sum - max_half) 推导出来，这将是我们最好的总和减去其余数字。

以下是不同数字集及其各自输出的一些示例：

设置：{1,4}，输出：0。

设置：{1,1,1}，输出：-1。

设置：{5,6,8,9,2}，输出：0。

设置：{1,50}，输出：-49。

子集求和问题网上有many explanations，这里就不解释了。

这段代码的时间复杂度为O(n * sum)，空间复杂度为O(n * sum)。

也可以通过使用一维 dp 数组来牺牲一些时间复杂度来提高空间复杂度。

鉴于问题似乎是 NP 完全的，使用 SAT、MILP、CP 或 ASP 求解器是最佳选择，因为它们是为解决此类问题而量身定制的。

解决方案

这是一个使用 ASP（答案集编程）的解决方案。

给定文件 instance.lp：

value(12).
value(12).
value(1).
value(2).
value(3).
value(5).
value(6).
value(7).

和文件 encoding.lp:

% every value can be positive (or not)
{pos(X)} :- value(X).

% fail if the sum is not 0
:- not 0 = #sum {V : pos(V); -V : not pos(V),value(V)}.

% format output
#show pos/1.
#show neg(V) : not pos(V),value(V).

问题可以用clingo解决， potassco 工具集的 ASP 求解器（可通过 conda、pip、Ubuntu Package Manger 等轻松安装...）。

调用：

clingo instance.lp encoding.lp

给你结果：

Answer: 1
pos(1) pos(2) pos(3) pos(5) pos(7) neg(6) neg(12)

您可以列举所有可能的解决方案：

clingo instance.lp encoding.lp 0

给你

Answer: 1
pos(1) pos(2) pos(3) pos(5) pos(7) neg(6) neg(12)
Answer: 2
pos(2) pos(3) pos(6) pos(7) neg(5) neg(1) neg(12)
Answer: 3
pos(5) pos(6) pos(7) neg(3) neg(2) neg(1) neg(12)
Answer: 4
pos(12) pos(1) pos(2) pos(3) neg(7) neg(6) neg(5)
Answer: 5
pos(12) pos(6) neg(7) neg(5) neg(3) neg(2) neg(1)
Answer: 6
pos(12) pos(1) pos(5) neg(7) neg(6) neg(3) neg(2)

ASP

使用ASP解决问题的好处在于：

易于维护（对问题的描述非常简短，易于阅读）
非常快（基于 SAT 和 CDNL）
声明式（你只描述问题，而不是如何解决它）
易于扩展，具有其他约束
还能够进行各种优化（例如优化最大的子集以形成总和）

编辑你也可以复制粘贴这两个文件的内容，自己在线查看结果，使用clingo here

的js编译