查找在循环中执行 k += sqrt(k) 的时间复杂度

鉴于此代码：

int f(int n)
{
    int j = 10;
    while( j < n) {
        j += sqrt(j);
        printf("Hello\n");
    }
    return j;
}

我如何找到它的时间复杂度，解决方案是 O(sqrt(n)) 但仍然是为什么？

感谢您的时间

我发现变量 j 属于序列 u _n+1=u_n+sqrt(u_n)，试图找到它的通用术语并没有把我带到任何地方，我也试过为它使用生成函数，但仍然没有用。

显然，计算 k + 1 的第 j 个值可以表示为函数 f(k + 1)：

(1)

然后，可以使用Taylor series通过f(k + 1)近似f(k)：

(2)

所以，将（2）代入（1）

现在，一旦 f(k) 达到 n，步数计算如上，对于这个近似值，时间复杂度为 O(sqrt(n))。

现在，让我们通过 k 表示 f_k：

那么，一个错误有多严重？请注意，下面使用的 f(k+1) 和 f(k) 是 f(k+1) 和 f(k) 的近似值（来自 (1)）：

我们不希望误差依赖于 k，因此我们将其旁边的系数设置为 0。因此，C₀=2.

所以，我们的近似误差是 0.25 .

顺便说一下，我们还可以找到一个剩余的系数C₁。为此，我们可以使用初始值 f(0)=10。所以，0 = 2 * sqrt(10) + C₁ -> C₁=-6.