使用埃拉托色尼筛法的最大素数

如何解决使用埃拉托色尼筛法的最大素数

我设法解决了问题，但超出了时间限制。

要解决的问题：如果给定的数字 n 非常大，则需要花费大量的时间。

问题：有没有办法调整代码以更快地获得最后一个质数？

const n = 126;
let lastPrime = 0;

for (let j = 2; j <= n; j++) {
    let counter = 0;
    for (let i = 1; i <= j; i++) {
        if (j % i === 0) counter++;
    }
    if (counter === 2) lastPrime = j;
}

print(lastPrime); // Biggest prime number of 126 is 113

谢谢！

解决方法

这里有很多优化要做 - 在这里快速阅读 (https://math.stackexchange.com/questions/889712/the-fastest-way-to-count-prime-number-that-smaller-or-equal-n/893767) 会有所帮助。

但对于初学者来说，您可以更改代码中的一些内容以使其更快：

第 1 步：减少外部迭代次数，因为我们知道所有偶数都是非质数。

for (let j = 3; j <= n; j += 2) {
...
}

第 2 步：通过仅迭代最大数量的 Sqrt 来减少内循环。一旦我们找到一个因素，也要跳出内部循环。不需要迭代到最后。这两个将为您带来最大的胜利。

let prime = true;    
for (let i = 2; i <= Math.sqrt(j); i++) { 
  if (j % i === 0) {
    prime = false;
    break;
  }
}
if (prime) {
  lastPrime = j;
}

第 3 步：停止计算 Math.sqrt(j)，因为您已经知道先前的最大值。 sqrt 是一个（相对）昂贵的操作。我们可以通过使用以前的值来避免它。

let maxBound = 2;
let maxSquare = maxBound * maxBound;

for (let j = 3; j <= n; j += 2) {
  if (maxSquare < j) {
    maxBound++;
    maxSquare = maxBound * maxBound;
  }
  for (let i = 2; i <= maxBound; i++) {
  ...
  }
}

第 4 步：如果您只想要最大的质数，请向后循环并在找到一个质数后立即中断。

这是完成的程序，它应该比你的程序快大约 2 个数量级。请注意，虽然我为您的程序提供了一些微不足道的优化，但与您可以在此处找到的算法优化相比，这总是显得苍白无力：https://math.stackexchange.com/a/893767

function getMaxPrime(n) {
  for (let j = n; j >= 3; j --) {
    let prime = true;
    for (let i = 2; i <= Math.sqrt(j); i++) {
      if (j % i === 0) {
        prime = false;
        break;
      }
    }
    if (prime) {
      maxPrime = j;
      break;
    }
  }

  console.log(maxPrime);
}

我在查看筛选代码时问自己的一个基本问题是：“此代码是否使用模 (%) 运算符？”如果是这样，那就不是埃拉托色尼筛。你正在做试验部门，这要慢得多。现在试分肯定是有地方和原因的，但是根据你的问题标题，你打算使用SoE。

例如参见 Wikipedia pseudocode。唯一的操作是仅涉及简单加法、测试和集合的两个循环。而已。没有乘法，没有除法，没有模数。这绝对是算法运行速度快的关键。内循环也很快变得稀疏，因为增量不断变大，所以我们实际上运行内循环代码的次数越来越少。与您发布的初始代码形成对比，其中内循环运行更多次。

要进行基本的 SoE，您需要一个小数组，然后只需要 4 行代码来进行筛选，外层循环执行 sqrt(n)。然后你可以检查只剩下素数标记的数组。在您的情况下，您可以向后走并在找到第一次出现时返回。有无数的优化方法，但令人惊讶的是，对于相对较小的 n（例如，在 10^9 以下，您确实需要进行分段 SoE），简单的基本 SoE 的速度有多快。

综上所述，您获得了可工作的代码，这是一个很好的第一步。一旦某事起作用，尝试不同的方法会容易得多。