找到 N 个有到 S 的路径的最高成本顶点，其中 S 是无向图 G 中的一个顶点 空间复杂度分析：时间复杂度分析：

如何解决找到 N 个有到 S 的路径的最高成本顶点，其中 S 是无向图 G 中的一个顶点 空间复杂度分析：时间复杂度分析：

我想知道，解决以下问题的最有效方法是什么（w.r.t.，空间和时间）：

给定一个无向图 G = (V,E)、一个正数 N 和 V 中的一个顶点 S。假设 V 中的每个顶点都有一个成本值。找到连接到 S 的 N 个最高成本顶点。

例如：

G = (V,E)
V = {v1,v2,v3,v4},E = {(v1,v2),(v1,v3),(v2,v4),(v3,v4)}
v1 cost = 1
v2 cost = 2
v3 cost = 3
v4 cost = 4

N = 2,S = v1

result: {v3,v4}

解决方法

这个问题可以通过图遍历算法（例如，BFS 或 DFS）轻松解决。要找到连接到 S 的顶点，我们可以从 S 开始运行 BFS 或 DFS。由于BFS和DFS的空间和时间复杂度相同（即时间复杂度：O(V+E)，空间复杂度：O(E)），这里我我将使用 DFS 显示伪代码：

Parameter Definition:
  * G -> Graph
  * S -> Starting node
  * N -> Number of connected (highest cost) vertices to find
  * Cost -> Array of size V,contains the vertex cost value

procedure DFS-traversal(G,S,N,Cost):
  let St be a stack
  let Q be a min-priority-queue contains <cost,vertex-id>
  let discovered is an array (of size V) to mark already visited vertices

  St.push(S)
  
  // Comment: if you do not want to consider the case "S is connected to S"
  // then,you can consider commenting the following line
  Q.push(make-pair(S,Cost[S]))

  label S as discovered

  while St is not empty
    v = St.pop()
    for all edges from v to w in G.adjacentEdges(v) do
      if w is not labeled as discovered:
         label w as discovered
         St.push(w)
         Q.push(make-pair(w,Cost[w]))
         if Q.size() == N + 1:
           Q.pop()

  let ret is a N sized array
  while Q is not empty:
    ret.append(Q.top().second)
    Q.pop()

让我们先描述一下过程。在这里，我运行 DFS 的迭代版本来遍历从 S 开始的图。在遍历过程中，我使用 priority-queue 来保留可从 N 到达的 S 最高成本顶点。我们可以使用一个简单的数组（甚至我们可以重用 priority-queue 数组）来代替 discovered 来记录可到达顶点的成本。

空间复杂度分析：

• 存储图形：O(E)
• 优先队列：O(N)
• 堆栈：O(V)
• 对于发现的标签：O(V)

因此，由于 O(E) 是此处的主要术语，我们可以将 O(E) 视为整体空间复杂度。

时间复杂度分析：

• DFS 遍历：O(V+E)
• 要跟踪 N 个成本最高的顶点：
  • 通过维护优先队列：O(V*logN)
  • 或者使用数组：O(V*logV)

总体时间复杂度为：O(V*logN + E) 或 O(V*logV + E)