为双指数曲线拟合找到 x？

如何解决为双指数曲线拟合找到 x？

我正在使用 python 批量处理一些数据并绘制它。我可以使用 scipy.curve_fit、一个双指数函数和一些合理的初始猜测很好地拟合它。这是一个代码片段：

def biexpfunc(x,a,b,c,d,e):
    y_new = []
    for i in range(len(x)):
        y = (a * np.exp(b*x[i])) + (c * np.exp(d*x[i])) + e
        y_new.append(y)
    return y_new

x = np.linspace(0,160,100)
y = biexpfunc(x,50,-0.2,-0.1,10)
jitter_y = y + 0.5 *np.random.rand(len(y)) - 0.1
plt.scatter(x,jitter_y)


sigma = np.ones(len(x))
sigma[[0,-1]] = 0.01
popt,pcov = curve_fit(biexpfunc,x,jitter_y,p0 = (50,10),sigma = sigma)
x_fit = np.linspace(0,x[-1])
y_fit = biexpfunc(x_fit,*popt)
plt.plot(x_fit,y_fit,'r--')

plt.show()

我知道如何对给定的 x 值进行插值以找到 y（通过将其放回函数中），但是如何为给定的 y 值找到 x？我觉得必须有一种不需要重新安排和定义新函数的明智方法（部分原因是数学不是我的强项，我不知道如何！）。如果曲线很好地拟合了数据，有没有办法简单地读出一个值？任何帮助将不胜感激！

解决方法

事实证明，您的问题与曲线拟合无关，但实际上与求根有关。 Scipy.optimize 具有此任务的 whole arsenal of functions。选择和配置正确的有时很困难。我可能不是这里最好的向导，但由于没有其他人加强...
根查找尝试确定 x 为零的 f(x) 值。要找到一个 x0，其中 f(x0) 是某个 y0 值，我们只需将函数转换为 g(x) = f(x)-y0。 由于您的函数是单调的，对于给定的 y 值，预计不会超过一个根。我们也知道要搜索的 x 区间，所以 bisect 似乎是一个合理的策略：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit,bisect

def biexpfunc(x,a,b,c,d,e):
    return (a * np.exp(b*x)) + (c * np.exp(d*x)) + e

np.random.seed(123)
x = np.linspace(0,160,100)
y = biexpfunc(x,50,-0.2,-0.1,10)
jitter_y = y + 0.5 *np.random.rand(len(y)) - 0.1

fig,ax = plt.subplots(figsize=(10,8))
ax.scatter(x,jitter_y,marker="x",color="blue",label="raw data")

#your curve fit routine
sigma = np.ones(len(x))
sigma[[0,-1]] = 0.01
popt,pcov = curve_fit(biexpfunc,x,p0 = (50,10),sigma = sigma)
x_fit = np.linspace(x.min(),x.max(),100)
y_fit = biexpfunc(x_fit,*popt)
ax.plot(x_fit,y_fit,'r--',label="fit")

#y-value for which we want to determine the x-value(s)
y_test=55
test_popt = popt.copy()
test_popt[-1] -= y_test

#here,the bisect method tries to establish the x for which f(x)=0
x_test=bisect(biexpfunc,x.min(),args=tuple(test_popt))
#we calculate the deviation from the expected y-value
tol_test,= np.abs(y_test - biexpfunc(np.asarray([x_test]),*popt))

#and mark the determined point in the graph
ax.axhline(y_test,ls="--",color="grey")
ax.axvline(x_test,color="grey")
ax.plot(x_test,y_test,c="tab:orange",marker="o",markersize=15,alpha=0.5)
ax.annotate(f"X: {x_test:.2f},Y: {y_test:.2f}\ntol: {tol_test:.4f}",xy=(x_test,y_test),xytext=(50,50),textcoords="offset points",arrowprops=dict(facecolor="tab:orange",shrink=0.05),)

ax.legend(title="root finding: bisect")
plt.show()

示例输出：

另一种确定更复杂函数根的方法是，令人惊讶的是，root。脚本基本相同，只是root-routine略有不同，比如我们可以选择寻根方式：

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit,root

def biexpfunc(x,label="fit")

#y-value for which we want to determine the x-value(s)
y_test=55
test_popt = popt.copy()
test_popt[-1] -= y_test

#calculate corresponding x-value with root finding
r=root(biexpfunc,x.mean(),args=tuple(test_popt),method="lm")
x_test,= r.x 
tol_test,= np.abs(y_test - biexpfunc(r.x,*popt))

#mark point in graph
ax.axhline(y_test,shrink=0.05))

ax.legend(title="root finding: lm")
plt.show()

示例输出：

在这种情况下，图表看起来相同。这不一定适用于每个功能；就像曲线拟合一样，正确的方法可以显着改善结果。