在图中找到需要最少节点访问的路径

如何解决在图中找到需要最少节点访问的路径

我正在寻找一种算法来在非圆形图中找到最短路径。但是，最短路径不是定义为权重最小的那条，而是到达目的地之前要访问的节点数最少的那条。

让我举个例子：假设您在手机上使用了错误的计时器应用，该计时器限制为半小时。共有三个按钮：

增加 10 分钟
增加 1 分钟
减去一分钟

初始值为零。输入范围是 0 到 30 分钟。我们现在想设置一个计时器，假设为 29 分钟。完成此操作的最短路径是点击 add 10 min 三次和 subtract 1 min 一次。

我们在图表中表示按钮按下的每个排列（其中每个节点表示对三个按钮之一的点击）。我们现在正在寻找一种从开始到特定数字的方法，它的按钮按下次数最少。

解决方法

该问题可以使用breadth first search (BFS) 解决。问题被赋予一个开始时间（我们将其视为图的起始节点）和一个目标时间（我们将其视为目标节点）。在每一步中，我们都可以使用当前时间执行以下任一操作：

增加 10 分钟
增加 1 分钟
减去 1 分钟

现在，图形的节点将是我们使用上述任一步骤可以达到的时间。例如，从时间 0 开始（将其视为 node-id 0），我们可以一步到达凋零 10、1 或 -1（即节点）。因此，在一个步骤中，我们发现图中的三个不同节点，并且没有一个节点是我们的目标节点。

通过这三个新发现的节点，我们可以进行类似的移动并到达距离源节点 2 步（即时间 0）的一些新节点。以下是我们可以在第二步中发现的节点列表：

从10到：20、11、9
从 1 到：11、2、0
从 -1 到：9、0、-2

我们可以从这里注意到两件事：

如果我们发现了一个以前从未发现过的节点，那么它发现所需的步骤是最短距离。例如，我们可以从源节点9 2 步到达节点0（在这里我们可以看到，9 可以从两个节点10 和{{ 1}})，显然它是节点 -1 的最短距离。
图形可以是圆形的。例如，从节点9到节点0，从节点-1到节点-1有一条边。你需要处理这个。

所以，现在很明显我们将这个问题转换为标准的 BFS 问题。现在，我们可以通过以下伪代码来解决：

不要将问题视为图遍历问题，您可以简单地通过对以单个根节点开始并随时间增长的树执行 BFS 来解决它：

#!/usr/bin/python3
DESIRED_SUM = 29
SET = [-1,1,10]
QUEUE = [(0,[])] # For BFS
ANSWER = {} # For Dynamic Programming

while True:
    (cur_sum,elements) = QUEUE.pop(0)

    if cur_sum not in ANSWER:
        ANSWER[cur_sum] = elements

    if cur_sum == DESIRED_SUM:
        break

    for num in SET:
        new_sum = cur_sum + num
        if new_sum not in ANSWER:
            new_elements = elements.copy()
            new_elements.append(num)
            QUEUE.append((new_sum,new_elements))

for key,item in ANSWER.items():
    print("{0}: {1}".format(key,item))

每次附加到 QUEUE 时，实际上是在添加叶节点。如果您只是在不存储结果的情况下执行 BFS（即动态规划），那么您将遇到指数时间。上述代码复制并携带 elements 列表的方式非常低效。例如，您可以存储 ANSWER[28] = ANSWER[29] - 1，这样当您确实想要检索给定总和的完整元素列表时，您可以递归地跟随 ANSWER 来检索它。

请注意，如果 DESIRED_SUM 不能从给定的元素列表中导出，则上述程序将永远不会终止。