用于 Kleene 星操作的 DFA

如何解决用于 Kleene 星操作的 DFA

对于语言 L*，DFA 具有的最高状态数是多少？是否可以在这里定义最坏的情况？

解决方法

正如 Welbog 指出的，L* 可以有任意数量的状态。但这不一定是显而易见的，因此我们不妨尝试证明一下。证明很简单：我们将描述一系列常规语言，使得第 N 种语言的 DFA 中的最小状态数等于 N。

我们的正则语言将是 {a},{aa},{aaa},...，即有限正则语言的序列由取自语言 a* 的单个非空字符串组成，按升序排列长度顺序。

语言 {a}* 的最小 DFA 有一个状态（假设字母 {a}）在 a 上循环到自身。

语言 {aa}* 的最小 DFA 有两种状态：初始状态仍在接受，但我们需要一个非接受状态来接受具有多个 a 不能被 2 整除的字符串。

通常，语言 {a^n}* 的最小 DFA 有 n 个状态：初始状态仍在接受，但我们需要 n-1 个非接受状态来跟踪 |w| 的值% n。我们必须跟踪这个值，以便我们可以知道我们是否看到了一些可以被 n 整除的 a，并且在 DFA 中，跟踪到目前为止看到的 a 的数量的唯一方法是更改​​为 a新的独特状态。

这个建设性的证明使我们能够提供证据证明 L* 的最小 DFA 的大小没有上限：如果 m 个状态有这样的限制，我们只需指出语言 (a^ (m+1))* 必须有更大的 DFA。