概率矩阵 Numpy 的终端概率

如何解决概率矩阵 Numpy 的终端概率

我有一个矩阵 m 表示从状态转换到状态的概率。

例如对于下面的示例，我将始终卡在状态 1、3、4 和状态 2 中，我将随机转换到 4 个状态之一。

import numpy as np
m = np.eye(4)
m[1] = 0.25
print(m)

[[1.   0.   0.   0.  ]

 [0.25 0.25 0.25 0.25]

 [0.   0.   1.   0.  ]

 [0.   0.   0.   1.  ]]

如何找到表示无限转换后最终状态的矩阵？

例如如果我这样做，我会得到状态 1,3,4 --> 100% 坚持 1,4 但状态 2 --> 1/3 机会最终出现在所有其他状态的直观结果。由于状态 2 的所有情况最终通过多次转换在 1、3、4 之间平均分配。

t = m
for _ in range(100_000):
    t = t @ t
print(t)

[[1.         0.         0.         0.        ]

 [0.33333333 0.         0.33333333 0.33333333]

 [0.         0.         1.         0.        ]

 [0.         0.         0.         1.        ]]

如何在不使用重复乘法的情况下计算此值？我认为它对应于矩阵的特征向量/特征值，但是当我计算这个时，我得到了非常不同的东西。

np.linalg.eig(m)

[[0.,0.9486833,0.,0.        ],[1.,0.31622777,0.31622777],[0.,0.9486833 ]]

是否有使用 numpy 计算此值的方法？我需要它为任意矩阵工作，但会有一个已知的终端状态列表以及从所有其他状态到达这些状态的正概率。

目前我正在考虑使用重复乘法方法，但感觉不是最理想的，应该有一个函数/技巧可以不用循环计算。

我正在阅读这篇文章，但并没有完全理解方法论是什么以及如何实施它。

https://math.dartmouth.edu/archive/m20x06/public_html/Lecture14.pdf

我也看过这个问题。人们似乎给出了一些手动求解的技巧，但没有给出通用算法：

https://math.stackexchange.com/questions/2003258/calculating-the-probability-of-reaching-each-absorbing-state-in-markov-chain

解决方法

我的朋友指出了以下技巧。

特征分解意味着我们可以将原始矩阵写成

V x D x V^-1

其中 D 是具有特征值的对角矩阵，V 是特征向量。

如果我们将这个乘以无限次，就是

V x D^inf x V^-1

我们可以使用下面的方法在 numpy 中计算。

d,v = np.linalg.eig(m)
v @ np.diag(d >= 1).astype(int) @ np.linalg.inv(v)

因为如果对角线值