使用 ?=(?,?) 的其他生成树寻找生成树

如何解决使用 ?=(?,?) 的其他生成树寻找生成树

我在想出一个多项式时间算法来解决以下问题时遇到了麻烦：

令 ?=(?,?) 是一个无向无权图，顶点为 ?。令 ?_1,?_2,...,?_? 是 ?=?−1 不同的 ? 生成树。找到找到生成树的多项式时间算法
? 中的 ?=(?,?_?) 包含来自每个生成树 ?_? 的至少一条边。

我真的很感激这方面的任何帮助！

解决方法

生成树具有 matroid 结构。因此，下面的贪心算法有效：从一个空的森林开始，对于每个输入生成树，通过任何一个不创建循环的树边扩展森林。正确性或多或少直接来自于增强特性和独立性的定义。

这是一个基本的解决方案。

//if the graph is given in input:
//    If any bridge exists in the graph:
//        return any spanning tree from the list of input spanning trees
    
while the size of result set is less than |V|-1:
    for every tree in the list of spanning trees:
        for every edge in the tree:
            if edge is not a part of result set:
                if adding this edge to the result set doesn't form a cycle:
                    add the edge to result set
                    break
        if size of result set is V-1:
            break

生成树列表的大小
生成树列表的大小> |V|-1：需要证明“上述算法返回的结果集至少包含生成树列表中所有剩余树的一条边”。我会在闲暇时尝试这个证明。

如果对于给定的图 |E|

一个有趣的例子是 |E| >= 2*(|V|-1)。如下图所示，对于一些生成树L的输入列表，假设绿色边的集合是上述算法返回的结果集。可以在不使用任何绿色边的情况下形成蓝色边的生成树。

刚刚发布了这个答案，以便它可以作为试图回答这个问题的人们的一些基本基础工作。否则，可能被视为蛮力解决方案。