如何解决反证中心二项式系数的渐近下界
我最近在学习二项式系数,想知道如何反驳 2nCn(或中心二项式系数)不是 4^n 的下限;换句话说:
可以很容易地构造一些非常宽泛的边界,例如:
我试图通过矛盾来证明,所以假设:
显然,c1 不存在,因为当 n 接近无穷大时 1/(2n + 1) 接近 0。还可以看出 c2 必须驻留在 (0,1] 中。而且...我被卡住了。直觉上,似乎很明显 c2 不能存在。
我知道有人问过一个类似的问题 here,但实际上并没有提供证据。我也知道当 n 接近无穷大时,你可以证明 2nCn/4n 的极限接近 0,但我想知道是否有另一种方法可以做到这一点 - 特别是通过证明 c2 不能存在。
解决方法
对于所有 n,常数 c2 的上限必须为
2n choose n (2n)!
----------- = -------------
4^n 2^n n! 2^n n!
(2n)!
= -------------
(2n)!! (2n)!!
(2n-1)!!
= --------
(2n)!!
n (2i-1)
= product ------
i=1 2i
n
= product (1 - 1/(2i))
i=1
n
≤ product exp(-1/(2i)) [since 1 + x ≤ exp(x)]
i=1
n
= exp(sum -1/(2i))
i=1
≤ exp(-ln(n+1)/2) [since sum ≤ integral of increasing fn]
= 1/√(n+1),
因此它不可能是正的。
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