最小化两个数组的绝对差之和

如何解决最小化两个数组的绝对差之和

我有两个大小为 A 的整数数组 B 和 n。一对的成本是 |A(i) - B(i)|。
我想将 A 和 B 的 n 个元素配对，以使所有 A(i) 和 B(i) 的所有成本总和最小化。

我知道我可以通过对 O(n log n) 进行排序，然后对 A 进行排序，然后分别从 B 将它们配对来获得 1...n，但是在尝试了几个小时之后，我不知道怎么证明。有人可以帮我吗？

我已经看到了如何实现它，我只是不知道如何证明它

解决方法

假设根据当前排序的数组，有一对|x-a|，另一对|y-b|。假设切换元素会得到较小的总和，即更优的解决方案。
（注意：在切换两对时，数组的其余部分不受影响）。

Current total sum of pairs = |x-a| + |y-b|  
Modified sum after switching pairs = |x-b| + |y-a|
Difference in sums = diff = |x-b| - |x-a| + |y-a| + |y-b|

如果 diff 为负数，则意味着我们找到了更好的排序。如果不是，则说明我们原来的解决方案更好。

现在，您可以对案例进行分析。（由于数组已排序，让 x<y（它们来自第一个数组）和 a<b（它们来自第二个数组）。

情况 1：x>b 或 y<a：
在这种情况下，两个和将相等，这可以通过展开模很容易看出
案例 2：a<x<b：
如果 y>b，diff = 2*(b-x)。由于我们假设 b>x，因此 diff 为正。
如果 y<b，diff = 2*(y-x)。由于 y>x 如前所述，diff 再次为正。

您可以继续处理类似的情况并证明 diff 始终为正，这意味着我们最初的排序将是最有效的。

我在这里采用了一种稍微不同的方法，通过使用平方而不是绝对来证明这一事实。

考虑 2 个数组，A = [a1,a2,...,an] 和 B = [b1,b2,bn]。

现在，即使我使用随机配对（使用来自 A 和 B 的任何索引形成一对），

假设差的平方和 (S) = a1^2 + b1^2 + a2^2 + b2^2 + ... + an^2 + bn^2 - 2 * (a1 * b3 + a2 * b4 + .... + an * b56 + bn * a34).

上述总和可以表示为 S = sum(ai^2) + sum(bi^2) - 2 * sum(ai*bi)，因为 i 从 1 到 n。

为了最小化这个总和，我们需要最大化部分 sum(ai*bi)，因为 i 从 1 到 n。

当对 2 个数组进行排序时，术语 sum(ai*bi) 将是最大值。

感谢您指出 @Abhinav Mathur：可以使用 rearrangement inequality 证明语句 The term sum(ai*bi) will be maximum when the 2 arrays will be sorted。

排序和配对创建了一个我们可以称之为“单调”的匹配，它确保如果 A[i] 匹配 B[x] 并且 A[j] 匹配 B[y]，那么：

如果 A[i]
如果 B[x]

如果您选择一个非单调匹配，那么某些匹配将违反这些规则之一。

如果我们从两个数组中选取任意两个元素，使得 A[i]

为了比较成本，我们需要去掉绝对值操作。我们可以通过分别考虑 4 个值之间的所有可能顺序来做到这一点：

案例：A[i]

单调代价：B[x]-A[i] + B[y]-A[j]
交换成本：B[y]-A[i] + B[x]-A[j]
差异：0
成本是一样的 - 我们选择哪个并不重要

案例：A[i]

单调代价：B[x]-A[i] + B[i]-A[j]
其他成本：B[y]-A[i] + A[j]-B[x]
区别：2A[j] - 2B[x]
由于 A[j] >= B[x]，单调是一样好或更好

...等

如果您遍历所有 6 种可能的排序，在每种情况下您都会发现单调匹配一样好或更好。给定任意匹配，你可以让每对元素匹配单调，成本只会下降。

如果您从最佳匹配开始并使每对匹配单调，那么您最终会得到最佳单调匹配。（事实上，如果它是最优的，那么你开始的那个必须是单调的，但我们不必证明这一点）由于每个单调匹配具有相同的成本，并且其中至少一个是最优的，因此它们都必须是最优的。