此 Word Break DFS + Memorization 解决方案的时间复杂度

如何解决此 Word Break DFS + Memorization 解决方案的时间复杂度

在处理 wordBreak 问题时，我发现这个解决方案非常简洁。但不确定时间复杂度。有人可以帮忙吗？

我的理解是最坏的情况，O(n*k)，n是wordDict的大小，k是String的长度。

class Solution {
    public boolean wordBreak(String s,List<String> wordDict) {
        return wordBreak(s,wordDict,new HashMap<String,Boolean>());
    }
    
    private boolean wordBreak(String s,List<String> wordDict,Map<String,Boolean> memo) {
        if (s == null) return false;
        
        if (s.isEmpty()) return true;
        
        if (memo.containsKey(s)) return memo.get(s);
        
        for (String dict : wordDict) { //number of words O(n)
                            //startsWith is bounded by the length of dict word,avg is O(m),can be ignored
                            //substring is bounded by the length of dict word,avg is O(k),k is the length of s
                            //wordBreak will be executed k/m times,k is the length of s,worse case k times... when a single letter is in the dict
            if (s.startsWith(dict) && wordBreak(s.substring(dict.length()),memo)) {
                memo.put(s,true);
                return true;
            } 
        }
        memo.put(s,false);
        return false;
    }
}

解决方法

由于以下几个原因，它比 O(nk) 更糟：

您忽略了“m”，但 m 是 Omega(log k)。（因为 k
s.substring 可能是 O(n)。您的代码看起来像 Java，在 Java 中是 O(n)。
即使 s.substring 是线性的，您的地图也需要对字符串进行哈希处理，因此您的地图操作是 O(n)（请仔细注意 -- n 是字符串的大小，而不是哈希表的大小就像通常一样）。

可能这意味着您的复杂度为 O(n^2k*logk)。

您可以轻松修复 3 -- 您可以使用 s.length 而不是 s 作为哈希表的键。

问题 2 很容易解决，但修复起来有点烦人——您可以使用一个变量来索引字符串，而不是对字符串进行切片。您可能必须自己重写 startsWith 才能使用此索引（或使用特里树 - 见下文）。如果您的编程语言具有 O(1) 切片操作（例如，C++ 中的 string_view），那么您可以改用它。

问题 1 只是理论上的，因为对于真实的单词列表，与字典的长度或输入字符串的潜在长度相比，m 真的很小。

请注意，使用字典树而不是单词列表可能会导致巨大的时间改进，现实示例是线性的，不包括字典构造（尽管恶意选择字典和输入字符串的最坏情况示例将是 O(nk)).